Kezdőlap


Feladat:	B.3689	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Halász Veronika
Füzet:	2004/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/december: B.3689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A megoldás során föltesszük, hogy $tg (\frac{π}{12} - x)$ és $tg (\frac{π}{12} + x)$ értelmesek. A három mennyiségnek hatféle sorrendje lehetséges, azonban az esetek száma csökkenthető. Először is vegyük észre, hogy amennyiben a középső elemet rögzítjük, akkor a két szélső elem sorrendje a feladat szempontjából közömbös, három (nem nulla) szám egy adott sorrendben pontosan akkor alkot mértani sorozatot, ha a két szélső tagot felcserélve ugyancsak mértani sorozatot kapunk. (A sorozat hányadosa a csere után a reciprokára változik.) Ezzel az esetek száma a felére csökken.
Másfelől az $x \leftarrow - x$ helyettesítés fölcseréli $tg (\frac{π}{12} - x)$ és $tg (\frac{π}{12} + x)$ értékét, így a $tg \frac{π}{12}$ , $tg (\frac{π}{12} - x)$ , $tg (\frac{π}{12} + x)$ mennyiségekre ebben a sorrendben akkor és csak akkor teljesül a feladat feltétele, ha az adott helyettesítés után $tg \frac{π}{12}$ , $tg (\frac{π}{12} + x)$ és $tg (\frac{π}{12} - x)$ alkotnak mértani sorozatot. Így elegendő két esetre szorítkoznunk: ha $tg \frac{π}{12}$ , illetve ha $tg (\frac{π}{12} - x)$ a középső elem.
Jelölje $tg x$ értékét $y$ és az egyszerűség kedvéért legyen $tg \frac{π}{12} = t$ . A megfelelő addíciós tételek felhasználásával

\begin{matrix} tg (\frac{π}{12} - x) = \frac{t - y}{1 + t y} és tg (\frac{π}{12} + x) = \frac{t + y}{1 - t y} . \end{matrix}

Ismeretes, hogy három nullától különböző szám pontosan akkor lesz egy mértani sorozat három szomszédos tagja, ha a középső tag négyzete egyenlő a másik két tag szorzatával. Az első esetben, ha

t

a középső tag, akkor

\begin{matrix} t^{2} = \frac{t - y}{1 + t y} \cdot \frac{t + y}{1 - t y} = \frac{t^{2} - y^{2}}{1 - t^{2} y^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

t^{4} y^{2} - y^{2} = 0

. Mivel

t^{4} \neq 1

, azért innen

y = 0

következik, azaz

x = k π

, ahol

k

tetszőleges egész szám. Ekkor a három szám egyenlő és nem nulla, valóban mértani sorozatot alkotnak.
Ha

\frac{t - y}{1 + t y}

a középső elem, akkor a feltétel szerint most a

\begin{matrix} t \cdot \frac{t + y}{1 - t y} = {(\frac{t - y}{1 + t y})}^{2} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. A műveleteket elvégezve és

y

hatványai szerint rendezve, majd szorzattá alakítva a

\begin{matrix} (t^{2} + 1) y [t y^{2} + (t^{2} - 1) y + 3 t] = 0 \end{matrix}

egyenlet adódik. Ha

y = 0

, akkor a számok egyenlők, az előző megoldást kapjuk, egyébként

t \neq 0

-val osztva az

y^{2} - \frac{1 - t^{2}}{t} y + 3 = 0

egyenletet kell megoldanunk. Az elsőfokú tag együtthatója igen megnyugtató: a

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - tg^{2} α}

azonosság szerint

\begin{matrix} \frac{1 - t^{2}}{t} = \frac{1 - tg^{2} \frac{π}{12}}{tg \frac{π}{12}} = \frac{2}{tg 2 \cdot \frac{π}{12}} = \frac{2}{tg \frac{π}{6}} = 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A másodfokú egyenlet bal oldala tehát

y^{2} - 2 \sqrt[]{3} y + 3 = {(y - \sqrt[]{3})}^{2}

, ahonnan

y = \sqrt[]{3} = tg^{- 1} \frac{π}{3}

. Ekkor

x = \frac{π}{3} + n π

n \in Z

, a három szám pedig

tg \frac{π}{12} = 2 - \sqrt[]{3}

tg (- \frac{π}{4}) = - 1

és

tg \frac{5 π}{12} = 2 + \sqrt[]{3}

, amelyek ebben a sorrendben valóban mértani sorozatot alkotnak, a hányados

q = - (2 + \sqrt[]{3})

.
A korábbiak szerint az eddigiek mellett az

x = - \frac{π}{3} + n π

n \in Z

alakú számok is megoldásai a feladatnak, ekkor a

tg \frac{π}{12}

tg (\frac{π}{12} + x)

tg (\frac{π}{12} - x)

értékek adják a fenti mértani sorozatot.
A feladat megoldásai tehát az

x = ε \cdot \frac{π}{3} + n π

alakú számok, ahol

ε

- 1

, 0, 1 értékek valamelyike,

n

pedig tetszőleges egész szám.

Megjegyzések. 1. Érdemes felfigyelni arra, hogy a feladat nem triviális megoldása a nyilvánvaló

tg 15^{\circ} \cdot tg 75^{\circ} = 1 = tg^{2} 45^{\circ}

azonosság átirata. A jobb oldal ugyanis

tg^{2} (- 45^{\circ})

-nek is írható, így pedig az argumentumok a

- 45^{\circ}

15^{\circ}

75^{\circ}

elrendezésben olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek középső tagja

15^{\circ} (\frac{π}{12})

, míg a megfelelő tangens értékek a

tg 15^{\circ}

tg (- 45^{\circ})

tg 75^{\circ}

sorrendben alkotnak mértani sorozatot.
2. A megoldás során minden további nélkül használtuk, hogy

tg 15^{\circ}

pontos értéke

2 - \sqrt[]{3}

. Ez például a szokásos módon igazolható a különbség tangensére vonatkozó azonosság és

tg 45^{\circ} = 1

, illetve

tg 30^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{3}

ismert értékeinek felhasználásával:

\begin{matrix} tg 15^{\circ} = tg (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{tg 45^{\circ} - tg 30^{\circ}}{1 + tg 45^{\circ} \cdot tg 30^{\circ}} = \frac{1 - \frac{\sqrt[]{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt[]{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt[]{3}}{3 + \sqrt[]{3}} = \frac{9 - 6 \sqrt[]{3} + 3}{9 - 3} = 2 - \sqrt[]{3} . \end{matrix}