Feladat: B.3687 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antal László ,  Bereczki Péter ,  Birkus Róbert ,  Bodnár József ,  Csajbók Bence ,  Czank Tamás ,  Dobos Gábor ,  Eckert Bernadett ,  Estélyi István ,  Fehér Gábor ,  Fekete László ,  Gábor Enikő ,  Gyarmati Ákos ,  Gyenizse Gergő ,  Hegyháti Máté ,  Jankó Zsuzsanna ,  Kiss Balázs ,  Kiss-Tóth Christián ,  Kórus Péter ,  Kovács Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Molnár András ,  Morvai Gergely ,  Nagy Csaba ,  Nándori Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Miklós ,  Sándor Ágnes Petra ,  Stippinger Marcell ,  Strenner Balázs ,  Sum Zsuzsanna ,  Szalkai Balázs ,  Udvari Balázs ,  Ureczky Bálint 
Füzet: 2004/szeptember, 344. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Magasabb fokú egyenletek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/december: B.3687

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet két oldalán egy-egy függvény szerepel.

f(x)=x3+2x5,g(x)=x5-2x3.
Ha valamely x0-ra f(x0)=g(x0), akkor jelölje t0 ezt a közös függvényértéket. Ekkor
(f(x0))5=x03+2x0=t05,(g(x0))3=x05-2x0=t03.
A két kifejezés összegéből
x05+x03=t05+t03.
Az x5+x3 függvény a teljes valós halmazon szigorúan monoton növő lévén ez csak úgy teljesülhet, ha x0=t0. Eszerint
x03+2x0=x05,illetvex05-2x0=x03.
Mindkét egyenlet ugyanazt fejezi ki: x05-x03-2x0=0. Ebből x0(x04-x02-2)=0 adódik, amelynek valós megoldásai a 0, illetve ±1±1+82-ből 2 és -2.
A három szám valóban kielégíti az eredeti egyenletet, más valós megoldás pedig nem lehet.