|
Feladat: |
B.3718 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Antal László , Birkus Róbert , Csajbók Bence , Dobos Gábor , Eckert Bernadett , Erdélyi Márton , Estélyi István , G. Szabó Kálmán , Gyarmati Ákos , Hagymási Imre , Hartmann Zoltán , Hubai Tamás , Jankó Zsuzsanna , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christián , Kórus Péter , Majoros Csilla , Nagy János , Pálinkás Csaba , Strenner Balázs , Vass Márton |
Füzet: |
2004/október,
419 - 421. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Körülírt kör, Feuerbach-kör, Tengelyes tükrözés, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2004/március: B.3718 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Mivel a középvonalak párhuzamosak az eredeti háromszög megfelelő oldalaival, az eredeti háromszög oldalfelező merőlegesei a középvonalak által alkotott háromszögben magasságvonalak. Vagyis az eredeti háromszög körülírható körének középpontja éppen a középvonalak által alkotott háromszög magasságpontja. Elegendő tehát a következő állítást belátnunk:
Egy háromszög magasságpontján áthaladó egyenesnek a háromszög oldalegyeneseire vett tükörképei egy ponton mennek át.
Jelöljük a háromszög csúcsait , , -vel, szögeit a szokásos módon , , -val. Válasszuk úgy a jelölést, hogy teljesüljön. A magasságpontot jelölje , az ezen áthaladó adott egyenest , ennek az oldalakra vonatkozó tükörképeit , és , -nek az oldalegyenesekre vonatkozó tükörképeit pedig , és . Mivel átmegy -en, azért átmegy -en . Tudjuk továbbá (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1079. feladat), hogy az pontok rajta vannak az háromszög köré írt körön.
1. ábra
2. ábra A továbbiakban négy esetet különböztetünk meg. Ha (1. ábra), akkor és egybeesik, az állítás nyilvánvaló. Ha hegyesszög, akkor a 2. ábrán, ha pedig tompaszög, akkor helyzetétől függően a 3. vagy a 4. ábrán látható lehetőségeket kell vizsgálnunk. Mindhárom esetben igaz, hogy felezi az , pedig felezi az szöget. Ezért (mert ). Ha a egyenest előbb az , majd a képét az egyenesre tükrözzük, akkor a egyenest kapjuk, hiszen az első tükrözésnél képe . Viszont a két tükrözés egymásutánja megegyezik egy körüli szögű elforgatással. Tehát -t -be egy szögű elforgatás viszi. Ezért a két egyenes egymással (vagy esetén ) szöget zár be. Ha a két egyenes metszéspontját jelöli, akkor az egyes eseteknek megfelelően azt kapjuk, hogy (2. ábra), illetve (3. és 4. ábra). Tehát minden esetben rajta van az háromszög köré írt körön. Ez a kör egyúttal az háromszög köré írt köre is, azaz megegyezik -val. Ugyanígy láthatjuk be, hogy és metszéspontja ‐ jelöljük -val ‐ is rajta van a körön.
3. ábra
4. ábra Ha egybeesik -vel, akkor megegyezik az egyenessel. A kerületi szögek tétele miatt , ezért az oldallal is, és így is szöget zár be (5., ill. 6. ábra). Tehát az oldallal is, és így is szöget zár be. Ezért az -re merőleges egyenessel szöget zár be. A kerületi szögek tétele miatt | | ezért az -t tartalmazó ívhez tartozó kerületi szög megegyezik és szögével, tehát -ben érinti -t. Ebből viszont következik, hogy is egybeesik -vel, tehát ebben az esetben igaz az állításunk. Ugyanígy látható be az állítás abban az esetben is, ha azt tesszük fel, hogy esik egybe -vel.
5. ábra
6. ábra Ha viszont se , se nem esik egybe -vel, akkor mindkettőjüknek egybe kell esnie és -től különböző metszéspontjával, tehát állításunk ekkor is igaz. Eredeti állításunknál többet is bizonyítottunk. Mivel azt is megmutattuk, hogy a , és egyenesek közös pontja mindig rajta van -n, azért az eredeti feladatban szereplő tükörképek közös pontja rajta van a háromszög középvonalai által alkotott háromszög köré írt körön, ami nem más, mint az eredeti háromszög Feuerbach-köre. |
|