Kezdőlap


Feladat:	B.3679	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dömötör Erika
Füzet:	2004/szeptember, 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: B.3679

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat megoldásához először a pozitív $x$ és $y$ számokra az $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ egyenlőtlenséget igazoljuk. Tekintsük az $x$ és $y$ számtani és mértani közepe közötti összefüggést: $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt[]{x y}$ . Négyzetre emelés után: $\frac{{(x + y)}^{2}}{4} \geq x y$ , azaz

\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} \geq \frac{4}{x + y} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}, \frac{4}{a + b} + \frac{4}{c} \geq \frac{16}{a + b + c}, \frac{16}{a + b + c} + \frac{16}{d} \geq \frac{64}{a + b + c + d} . \end{matrix}

Adjuk össze a három egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{a + b} + \frac{4}{c} + \frac{16}{a + b + c} + \frac{16}{d} \geq \frac{4}{a + b} + \frac{16}{a + b + c} + \frac{64}{a + b + c + d}, \end{matrix}

amiből éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.