Kezdőlap


Feladat:	B.3678	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cseh Ágnes
Füzet:	2004/szeptember, 341 - 342. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Konvex négyszögek, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: B.3678

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a négyszög átlóinak metszéspontját $H$ , az $A H$ és $E D$ szakaszok metszéspontját $F$ , a $B H$ és $E C$ szakaszok metszéspontját pedig $G$ (lásd az ábrát). Az $A E B H$ négyszög parallelogramma, mert szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért $A E = B H$ és $E B = A H$ .

C H G

háromszög hasonló a

C A E

háromszöghöz is (mert

H G ∥ A E

), és az

E B G

háromszöghöz is (mert

C H ∥ E B

). Ugyanígy a

D F H

háromszög hasonló a

D E B

háromszöghöz is (mert

F H ∥ E B

), és az

E F A

háromszöghöz is (mert

D H ∥ A E

). A hasonló háromszögek megfelelő oldalainak aránya megegyezik, tehát

\begin{matrix} \frac{A E}{A C} = \frac{H G}{H C} = \frac{B G}{B E} és \frac{B D}{B E} = \frac{H D}{H F} = \frac{A E}{A F} . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} \frac{B G}{B E} : \frac{B D}{B E} = \frac{A E}{A C} : \frac{A E}{A F}, vagyis \frac{B G}{B D} = \frac{A F}{A C}, \end{matrix}

ami éppen a bizonyítandó állítás.