Kezdőlap


Feladat:	B.3704	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss-Tóth Christián
Füzet:	2004/október, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oldalfelező merőleges, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/február: B.3704

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az adott pontot $P$ -vel, a felezőmerőlegeseket $e$ , $f$ , $g$ -vel, a szerkesztendő háromszög csúcsait pedig $A$ , $B$ , $C$ -vel. Feltehetjük, hogy $P$ az $A B$ oldalegyenesen van. $P$ -ből az $A B$ felezőmerőlegesére állított merőleges éppen az $A B$ egyenes. Az $A B$ egyenesnek a $B C$ , illetve az $A C$ felezőmerőlegesére vonatkozó tükörképe is átmegy $C$ -n, mert $C$ éppen $B$ -nek, illetve $A$ -nak a megfelelő felezőmerőlegesre vonatkozó tükörképe. Ezek alapján a szerkesztés menete a következő:
Az adott pontból merőlegest állítunk az egyik adott oldalfelező merőlegesre, így megkapjuk a háromszög $A B$ oldalegyenesét. Ezt az egyenest tükrözzük a másik két felezőmerőlegesre, a tükörképek metszéspontja a háromszög $C$ csúcsa. Végül $C$ -t visszatükrözve a két utóbbi felezőmerőlegesre kapjuk a háromszög $A$ és $B$ csúcsait (1. ábra).

1. ábra

Az így szerkesztett háromszög nyilván kielégíti a feltételeket,

P

rajta van az egyik oldalegyenesén, az adott egyenesek közül egy-egy felezi a

B C

, illetve az

A C

oldalát, az

A B

oldal pedig merőleges a harmadik adott egyenesre, ezért ha az átmegy a másik két egyenes metszéspontján, akkor feleznie kell az

A B

szakaszt.
A feladatnak nyilván nincs megoldása, ha a három adott egyenes nem egy ponton megy át. Ha az egyenesek egy ponton mennek át, akkor általában három különböző megoldást kapunk, hiszen a szerkesztés első lépésében az adott egyenesek bármelyikére állíthatunk merőlegest (a 2. ábrán látható három háromszög ugyanazokhoz a kiindulási adatokhoz tartozik). Ha az adott pont éppen a szerkesztendő háromszög valamelyik csúcspontjába esik, akkor csak két megoldás van. Ha az adott egyenesek közül kettő merőleges egymásra, akkor a szerkesztendő háromszög derékszögű kell hogy legyen. Ebben az esetben a szerkesztés során az

A B

egyenesnek az egymásra merőleges oldalfelezőkre vonatkozó tükörképei párhuzamosak lesznek. Ezért csak akkor kapunk megoldást, ha a két tükörkép-egyenes egybeesik, akkor viszont végtelen sokat. Ez akkor következik be, ha az adott pont rajta van a felezőmerőlegesek metszéspontjában a harmadik felezőmerőlegesre állított merőleges egyenesen.

2. ábra