Kezdőlap


Feladat:	B.3653	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Békési István
Füzet:	2004/szeptember, 335 - 336. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3653

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat megoldásához először osszuk fel a síkot három részre, melyeket külön vizsgálunk. Ezek: $a)$ a négyzet belső és határpontjai; $b)$ a négyzet szemközti oldalegyenesei közé eső pontok (a négyzeten kívül); $c)$ a négyzet szomszédos oldalegyenesei által határolt négy síknegyed.
$a)$

‐	Ha a $P$ pont a négyzet belsejébe esik ( $P_{1}$ ), akkor abból a négyzet $360^{\circ}$ -os szögben látszik.

‐	Ha a $P$ pont a négyzet egyik oldalára esik, de nem a csúcsába ( $P_{2}$ ), akkor onnan a négyzet $180^{\circ}$ -os szögben látszik.

‐	Ha pedig a $P$ pont a négyzet csúcsára esik ( $P_{3}$ ), onnan a négyzet $90^{\circ}$ -os szögben látszik.

Ebben a síkrészben tehát egyetlen

P

pontból sem látszik a négyzet

30^{\circ}

-os szögben (1. ábra).

1. ábra

b)

Itt egy-egy négyzetoldalnak (kívülről) kell

30^{\circ}

-os szögben látszania, azaz keressük azt a körívet, amelynek pontjaira ez teljesül. Ennek a körívnek a középpontjából ugyanez az oldal

60^{\circ}

-os szögben látszik. Tehát annak a szabályos háromszögnek a harmadik csúcsa lesz a keresett körív középpontja, amelynek egyik oldala egybeesik a négyzet megfelelő oldalával (

O_{1}

, 2. ábra). Az

O_{1}

középpontú,

a

sugarú körnek a vizsgált sávba eső íve lesz egy ilyen sávban a keresett ponthalmaz. Természetesen forgásszimmetrikusan adódik további három ilyen ív is

O_{2}

O_{3}

O_{4}

középponttal.

2. ábra

c)

Ebben az esetben tulajdonképpen a négyzet átlóinak

30^{\circ}

-os látószögkörívét keressük a vizsgált síknegyedekben. Az előbbihez hasonló módon egy szabályos háromszög harmadik csúcsaként kapjuk a megfelelő körív középpontját (

O_{5}

, 3. ábra); a háromszög szemközti oldala a négyzet átlója, a körív sugara pedig az átló hossza (

e

). Ugyanígy a többi három síknegyedben az

O_{6}

O_{7}

O_{8}

középpontú körívek megfelelők,

e

sugárral.

3. ábra

Jegyezzük meg, hogy két-két különböző, szomszédos körívnek a négyzet oldalegyenesére eső határpontja közös, hiszen abból a pontból a négyzet oldala is és megfelelő átlója is

30^{\circ}

-os szögben látszik. Tehát a keresett ponthalmaz négy-négy váltakozó nagyságú körív, amelyek csatlakoznak egymáshoz (4. ábra). (Az egész ábra megtartja a négyzet negyedrendű forgásszimmetriáját.)

4. ábra