Kezdőlap


Feladat:	C.761	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/október, 408 - 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/április: C.761

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az $a$ és $c$ oldal adott, $A F_{1} = x$ , $C F_{2} = y$ ( $F_{1}$ a $B C$ , $F_{2}$ az $A B$ oldal felezőpontja).

Írjuk fel Pitagorasz tételét az

A S C

A S F_{2}

C S F_{1}

derékszögű háromszögekre:

\begin{matrix} b^{2} & = {(\frac{2}{3} x)}^{2} + {(\frac{2}{3} y)}^{2}, & (1) \\ {(\frac{c}{2})}^{2} & = {(\frac{2}{3} x)}^{2} + {(\frac{1}{3} y)}^{2}, & (2) \\ {(\frac{a}{2})}^{2} & = {(\frac{1}{3} x)}^{2} + {(\frac{2}{3} y)}^{2} . & (3) \end{matrix}

Oldjuk meg az egyenletrendszert. A (2) egyenlet 4-szereséből vonjuk ki a (3) egyenletet:

\begin{matrix} c^{2} = \frac{16}{9} x^{2} + \frac{4}{9} y^{2}, - \frac{a^{2}}{4} = - \frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{9} y^{2}, innen x^{2} = \frac{36 c^{2} - 9 a^{2}}{60} . \end{matrix}

Hasonlóan, ha a (3) egyenletet szorozzuk meg 4-gyel és kivonjuk belőle a (2) egyenletet, kapjuk, hogy

y^{2} = \frac{36 a^{2} - 9 c^{2}}{60}

. A kapott értékeket helyettesítsük (1)-be:

\begin{matrix} b^{2} = {(\frac{2}{3})}^{2} \frac{36 c^{2} - 9 a^{2}}{60} + {(\frac{2}{3})}^{2} \frac{36 a^{2} - 9 c^{2}}{60} . \end{matrix}

Rendezve kapjuk, hogy

b = \sqrt[]{\frac{a^{2} + c^{2}}{5}}