Kezdőlap


Feladat:	C.757	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Emőke
Füzet:	2004/október, 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: C.757

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $n \times n \times n$ -es kocka bármelyik testátlója $n$ darab kis egységkockát metsz át. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a kockát merőlegesen levetítjük alaplapjának síkjára. A vetület egy $n \times n$ -es négyzet, a testátlók vetületei a lapátlók.

pl.

n = 4

A kocka 4 testátlójának mindegyike áthalad a kocka középpontján.
Ha

n

páros, akkor mindegyik átló

n

egységkockán megy át, metszéspontjuk egy kis egységkocka egyik csúcsa. Így nincs olyan egységkocka, amelyet mindegyik átló átmetsz. A metszett kockák száma

4 n

, a feltétel szerint a nem metszett kockák száma

8 n

. De ekkor

4 n + 8 n = 12 n = n^{3}

, ahonnan

n^{2} = 12

, ami nem megoldás.

pl.

n = 5

n

páratlan, akkor a középső kis kockán minden átló áthalad, ezért a metszett kockák száma

4 n - 3

; a nem metszetteké

8 n - 6

és így

12 n - 9 = n^{3}

. Innen

n (12 - n^{2}) = 9

, azaz

n = 3

megoldás, vagyis a

3 \times 3 \times 3

-as kocka eleget tesz a feladat követelményének.