Kezdőlap


Feladat:	C.754	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Adrienn
Füzet:	2004/október, 407 - 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/február: C.754

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mindkét oldal pozitív, így felírhatjuk az egyenlet mindkét oldalának $x$ alapú logaritmusát ( $x > 0$ , $x \neq 1$ ):

\begin{matrix} log_{x} 2003 + log_{x} x - log_{x} 2004 = log_{x} 2004 \cdot log_{x} 2003. \end{matrix}

Tudjuk, hogy

log_{x} x = 1

, és jelöljük az

log_{x} 2003

-at

a

-val, az

log_{x} 2004

-et

b

-vel. Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} a + 1 - b = a b . \end{matrix}

Alakítsunk szorzattá:

\begin{matrix} (a + 1) (1 - b) = 0. \end{matrix}

Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.
Ha

a + 1 = log_{x} 2003 + 1 = 0

, akkor

log_{x} 2003 = - 1

és

x = \frac{1}{2003}

.
Ha

1 - b = 1 - log_{x} 2004 = 0

, akkor

x = 2004

.
Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy mindkét érték megoldása az egyenletnek.