Kezdőlap


Feladat:	C.753	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/október, 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Csonkagúlák, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/február: C.753

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a csonkakúp nagyobbik körének sugara $R$ , a kisebbik körének sugara $r$ . Elegendő megvizsgálnunk azt, hogy mennyivel változik a magasság, ha az övszerű részt egy vele egyenlő térfogatú $R$ sugarú hengerrel helyettesítjük. Ennek a hengernek a magassága legyen $m$ .

Az övszerű rész térfogata:

\begin{matrix} V_{1} = 2 \cdot \frac{2 π}{3} \cdot (R^{2} + R r + r^{2}) + r^{2} π . \end{matrix}

A henger térfogata:

V_{2} = R^{2} π m

, és

V_{1} = V_{2}

miatt:

\begin{matrix} \frac{4 π}{3} \cdot (R^{2} + R r + r^{2}) + r^{2} π = R^{2} π m . \end{matrix}

Egyszerűsítsünk

π

-vel és fejezzük ki

m

-et:

\begin{matrix} m = \frac{\frac{4}{3} R^{2} + \frac{4}{3} R r + \frac{4}{3} r^{2} + r^{2}}{R^{2}} = \frac{4}{3} + \frac{7}{3} \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{r}{R} . \end{matrix}

(1)

Tudjuk, hogy

2 R π = 27, 5

és

2 r π = 21, 6

, ebből

\frac{r}{R} = \frac{21, 6}{27, 5}

adódik; ezt helyettesítsük (1)-be:

\begin{matrix} m = \frac{4}{3} + \frac{7}{3} \cdot {(\frac{21, 6}{27, 5})}^{2} + \frac{4}{3} \cdot \frac{21, 6}{27, 5} \approx 3, 8201. \end{matrix}

A magasságkülönbség

d \approx 5 - 3, 8201 \approx 1, 18

cm: ennyivel magasabbak a ,,szűkített'' palackok.