Kezdőlap


Feladat:	C.751	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Deltoidok, Háromszögek hasonlósága, Körérintők, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/február: C.751

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C D$ deltoidban $A B ⊥ B C$ és $A B = A D = a > b = B C = C D$ .
Az oldalak meghosszabbítását érintő kör az $A B$ oldal egyenesét az $E_{1}$ , a $B C$ oldal egyenesét az $E_{2}$ , a $C D$ oldal egyenesét az $E_{3}$ és az $A D$ oldal egyenesét az $E_{4}$ pontban érinti.

Mivel

B C ⊥ A B

és

O E_{1}

is merőleges az

A B

egyenesre, azért

O E_{1} ∥ B C

. Hasonlóan

A B ⊥ C B

és

O E_{2} ⊥ C B

miatt

O E_{2} ∥ A B

. Az

O E_{1} B E_{2}

négyszög téglalap, de

O E_{1} = O E_{2} = r

az érintő kör sugara, ezért négyzet; így

E_{1} B = r

. Az

A B C

és

A E_{1} O

háromszögek hasonlók, megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

\begin{matrix} a : (a + r) = b : r . \end{matrix}

Innen az érintő kör sugara:

\begin{matrix} r = \frac{a b}{a - b} . \end{matrix}