Kezdőlap


Feladat:	C.737	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/október, 403 - 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Téglatest, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: C.737

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A doboz éleinek hosszát jelöljük $a$ , $b$ , $c$ -vel, ekkor a térfogata $a b c$ , a csomagé pedig tízszer ennyi. Ha a csomag hasonló a dobozhoz, akkor a hasonlóság aránya a térfogatok arányának a köbgyöke, $\sqrt[3]{10}$ , a csomag mérete tehát $\sqrt[3]{10} a \cdot \sqrt[3]{10} b \cdot \sqrt[3]{10} c$ .
A tíz dobozt kétféleképpen rendezhetjük téglatest alakú csomaggá: ha egy kiszemelt lap mentén egymás mellé helyezzük valamennyit, vagy ha két ötös oszlopot illesztünk egymáshoz. Az élek szerepe szimmetrikus, így feltehető, hogy az első esetben egy $10 a \cdot b \cdot c$ , a másodikban pedig egy $5 a \cdot 2 b \cdot c$ méretű téglatest adódik. Ha a doboz és a csomag hasonlók, akkor a ${\sqrt[3]{10} a; \sqrt[3]{10} b; \sqrt[3]{10} c}$ számhármas az első esetben a ${10 a; b; c}$ , a másodikban pedig az ${5 a; 2 b; c}$ számhármassal azonos az elemek valamilyen sorrendjében. (Az azonos helyen álló mennyiségek nyilván nem lehetnek egyenlők, tehát például $\sqrt[3]{10} a \neq 10 a$ , vagy $\sqrt[3]{10} b \neq 2 b$ .)
Az első esetben a szimmetria miatt föltehető, hogy $\sqrt[3]{10} a = b$ . Ekkor $b \neq \sqrt[3]{10} b = \sqrt[3]{100} a \neq 10 a$ , és így $\sqrt[3]{10} b = c$ , végül $\sqrt[3]{10} c = {(\sqrt[3]{10})}^{3} a = 10 a$ . Tehát ha $a : b : c = 1 : \sqrt[3]{10} : \sqrt[3]{100}$ , akkor a $b \times c$ lap mentén egymásra helyezett tíz doboz megvalósítja az igazgató elképzelését (1. ábra). (Az élek hosszai egy $\sqrt[3]{10}$ hányadosú mértani sorozat szomszédos elemei, a $\sqrt[3]{10}$ arányú nagyítás után egy tíszeres térfogatú hasonló téglatestet kapunk.)

1. ábra

A második esetben

{\sqrt[3]{10} a; \sqrt[3]{10} b; \sqrt[3]{10} c} = {5 a; 2 b; c}

. Most

b

és

c

szerepe nem szimmetrikus, két megoldást kapunk:

\begin{matrix} 5 a = \sqrt[3]{10} b, 2 b = \sqrt[3]{10} c és c = \sqrt[3]{10} a, ahonnan a : b : c = \sqrt[3]{10} : 5 : \sqrt[3]{100} \end{matrix}

(2. ábra) vagy pedig

\begin{matrix} 5 a = \sqrt[3]{10} c, 2 b = \sqrt[3]{10} a és c = \sqrt[3]{10} b, ahonnan a : b : c = 2 : \sqrt[3]{10} : \sqrt[3]{100} \end{matrix}

(3. ábra). Mindkét változatban a

b \times c

lap mentén egymásra helyezett öt dobozból álló téglatest két példányát kell összeilleszteni az

5 a \times c

lap mentén.

2. ábra

3. ábra

Bódai Zoltán dolgozatjavító megjegyzései: Igazuk volt azoknak, akik úgy képzelték, hogy mivel

\sqrt[3]{10}

nem szerkeszthető, azért nincs megoldása a feladatnak. Ez valóban azt jelenti, hogy gyakorlatilag nincs megoldás, de elméletben igen. Természetesen mindazok, akik eljutottak ahhoz, hogy az elképzelés megvalósítható és ezt példával illusztrálták is, megkapták az 5 pontot.
Azok, akik eljutottak addig, hogy az arány

\sqrt[3]{10}

, 1 pontot kaptak a dolgozatukra.