Kezdőlap


Feladat:	3655. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Németh Adrián , Sótér Anna
Füzet:	2004/május, 302 - 304. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: 3655. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje $x$ a bot azon részének hosszát, amely a súrlódó felület felett található. Mivel a bot egyenletesen nyomja a csövet, az $x$ hosszú részét

\begin{matrix} K = \frac{x}{ℓ} m g \end{matrix}

erő szorítja a súrlódó felülethez, a súrlódási erő tehát

S = - μ K = - μ \frac{x}{ℓ} m g

. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a súrlódási erő a bot mozgásirányával ellentétes irányú.)
A bot vízszintes irányú mozgásegyenlete

S = m a

, ahonnan

\begin{matrix} a (x) = - \frac{μ g}{ℓ} \cdot x . \end{matrix}

Ez az összefüggés, amely alakilag megegyezik a harmonikus rezgőmozgás egyenletével, csak addig érvényes, amíg a bot még nem csúszott át teljes egészében a másik csőbe, vagyis amíg

x \leq ℓ .

x > ℓ

, akkor a súrlódási erő állandó,

- μ m g

értékű, a bot gyorsulása tehát ilyenkor

- μ g

. A bot gyorsulás-elmozdulás függvénye az ábrán látható grafikonnal szemléltethető.

A bot mozgásának időbeli leírásához két esetet kell megkülönböztetnünk.

a)

Ha a súrlódás elegendően nagy ahhoz, hogy a bot még a másik csőbe való teljes átcsúszás előtt megálljon, akkor a lefékeződés időtartama ‐ a mozgásegyenlet és a rezgőmozgás egyenletének hasonló alakja miatt ‐ egy harmonikus rezgőmozgás negyed periódusideje:

\begin{matrix} t = \frac{1}{4} T = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{ω}, \end{matrix}

ahol a körfrekvencia (mint az a rezgőmozgás

a = - ω^{2} x

összefüggéséből leolvasható)

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{μ g}{ℓ}} . \end{matrix}

A bot megállásáig eltelt idő ezek szerint

\begin{matrix} t = \frac{π}{2} \sqrt[]{\frac{ℓ}{μ g}}, \end{matrix}

feltéve, hogy ennyi idő alatt a bot még nem tett meg

ℓ

utat. Ennek feltételét pl. a munkatétel segítségével fogalmazhatjuk meg: a súrlódási erő munkája

ℓ

úton nagyobb kell legyen, mint a test kezdeti mozgási energiája:

\begin{matrix} \frac{μ m g}{2} ℓ > \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, azaz μ > \frac{v_{0}^{2}}{g ℓ} . \end{matrix}

b)

μ < \frac{v_{0}^{2}}{g ℓ},

akkor a bot bizonyos

t_{1}

ideig

ω

körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgás részfolyamatát végzi, majd miután teljes egészében átjutott a másik csőbe és a sebessége

v_{1}

értékre csökkent, valamekkora

t_{2}

idő alatt egyenletesen lassulva megáll. A megállásig eltelt teljes idő

t_{1}

és

t_{2}

összege.
A

v_{1}

sebességet ismét a munkatétel segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} \frac{μ m g}{2} ℓ = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2}, ahonnan v_{1} = \sqrt[]{v_{0}^{2} - μ g ℓ} . \end{matrix}

Másrészt igaz, hogy a bot sebessége a harmonikus rezgőmozgás során

v (t) = v_{0} cos ω t

módon változik, tehát

v_{1} = v_{0} cos ω t_{1}

, ahonnan

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{ω} arccos \frac{v_{1}}{v_{0}} = \sqrt[]{\frac{ℓ}{μ g}} arccos \sqrt[]{1 - \frac{μ g ℓ}{v_{0}^{2}}} = \sqrt[]{\frac{ℓ}{μ g}} arcsin \sqrt[]{\frac{μ g ℓ}{v_{0}^{2}}} . \end{matrix}

A mozgás második szakasza

v_{1}

kezdősebességgel induló,

- a = μ g

lassulással mozgó test megállásáig, vagyis

\begin{matrix} t_{2} = - \frac{v_{1}}{a} = \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2} - μ g ℓ}}{μ g} \end{matrix}

ideig tart. A bot lelassulásának teljes ideje

\begin{matrix} t = t_{1} + t_{2} = \sqrt[]{\frac{ℓ}{μ g}} arcsin \sqrt[]{\frac{μ g ℓ}{v_{0}^{2}}} + \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2} - μ g ℓ}}{μ g} . \end{matrix}

A kétféle megoldás

μ = \frac{v_{0}^{2}}{g ℓ}

határesetben ugyanazt az értéket adja:

\begin{matrix} t = \frac{π}{2} \cdot \frac{ℓ}{v_{0}} . \end{matrix}

Megjegyzés. Sok versenyző ‐ tévesen ‐ úgy gondolta, hogy mivel

a (x)

lineáris függvény, számolhat a legnagyobb és a legkisebb gyorsulás átlagával (számtani közepével). Ez azért nem helyes, mert a gyorsulás itt most a megtett út függvényében változik lineárisan, nem pedig időben (ez utóbbi esetben jogos lenne az ,,átlagolás'').