Kezdőlap


Feladat:	3618. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vigh Máté
Füzet:	2004/február, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gauss-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: 3618. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsünk először egyetlen $d$ vastagságú, végtelen (nagyon nagy) $+ ϱ$ térfogati töltéssűrűségű lemezt. A szimmetria miatt az elektromos térerősség mindenhol merőleges a lemezre, és szimmetrikus a lemez felezősíkjára. Vegyünk fel egy $A$ alapterületű, $2 x$ magasságú téglatestet az 1. ábrán látható módon, és alkalmazzuk a Gauss-törvényt:

\begin{matrix} E (x) A - E (- x) A = 2 E (x) A = \frac{2 x A ϱ}{ε_{0}}, \end{matrix}

ebből

E (x) = \frac{x ϱ}{ε_{0}}

, ha

| x | \leq \frac{d}{2}

1. ábra

Hasonlóan kapjuk, hogy

E (x) = \frac{d ϱ}{ε_{0}}

, ha

x \geq \frac{d}{2}

, illetve

E (x) = - \frac{d ϱ}{ε_{0}}

, ha

x \leq - \frac{d}{2}

.
A

- ϱ

térfogati töltéssűrűségű lemez által keltett térerősség a fentitől csak abban különbözik, hogy

E (x)

mindenhol ellentétes előjelű. A két, közvetlenül egymás mellett elhelyezkedő lemez térerősségét a szuperpozíció-elv segítségével kaphatjuk meg. A lemezeken kívül a térerősség 0, lemezeken belül pedig ,,háztető alakú'' (2. ábra).

2. ábra

Hátra van még a potenciál meghatározása. Válasszuk a potenciált a 2. ábrán látható

A

pontban nullának (ekkor minden

x \leq - d

koordinátájú pontban nulla a potenciál). Egy tetszőleges

B

pontban az elektrosztatikus potenciál azzal a munkával egyenlő, amelyet az elektromos mező végez, míg egy pozitív egységnyi töltést a

B

pontból a nulla potenciálú

A

pontba viszünk; ez éppen az

E (x)

görbe alatti (besatírozott) terület

(- 1)

-szerese:

\begin{matrix} U (x) = - \frac{ϱ}{2 ε_{0}} (x^{2} + 2 d x + d^{2}), ha - d \leq x \leq 0, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} U (x) = \frac{ϱ}{2 ε_{0}} (x^{2} - 2 d x - d^{2}), ha 0 \leq x \leq d, \end{matrix}

és a lemezektől jobbra

\begin{matrix} U (x) = - \frac{ϱ d^{2}}{ε_{0}}, ha x \geq d, \end{matrix}

vagyis

x

-től független állandó.
Az

U (x)

függvény grafikonja ‐ egymáshoz törésmentesen illeszkedő ‐ parabolákból és egyenesekből tehető össze (3. ábra).

3. ábra

Megjegyzés. A

d \to 0

(miközben

ϱ d^{2} =

állandó) határesetben a lemezek két oldalán különböző a potenciál. Ez azzal függ össze, hogy a töltésrendszer ebben a határesetben ún. kettősrétegnek (felületi dipólmomentum-eloszlásnak) felel meg.