Kezdőlap


Feladat:	3602. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Haszpra Tímea
Füzet:	2004/február, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb hidrosztatikai nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: 3602. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az olaj sűrűsége kisebb, mint a vízé, ezért több (nagyobb térfogatú) olajat kell a pohárba öntenünk, ha azt akarjuk, hogy a tömegük ugyanakkora legyen. Az olaj tehát magasabban áll a pohárban, mint a víz ( $h_{olaj} > h_{víz}$ ), és emiatt az olaj csonkakúp felső körlapjának területe is nagyobb, mint a megfelelő vízfelszín területe: $T_{olaj} > T_{víz}$ .
A pohár aljára nehezedő nyomás csak a folyadék magasságától és a sűrűségétől függ, a pohár alakjától nem:

\begin{matrix} p_{olaj} = ϱ_{olaj} \cdot h_{olaj} \cdot g, p_{víz} = ϱ_{víz} \cdot h_{víz} \cdot g, \end{matrix}

tehát annál a folyadéknál lesz nagyobb a nyomás, amelyiknél a

ϱ h

szorzat nagyobb. (Az olaj magasabban áll a pohárban, mint a víz, a sűrűsége viszont kisebb, mint a vízé; a két mennyiség szorzatáról tehát csak további megfontolások után dönthetjük el, hogy melyik esetben nagyobb.)

Egy

h

magasságú,

T_{1}

és

T_{2}

alapterületű körlapokkal határolt csonkakúp térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{h}{3} (T_{1} + \sqrt[]{T_{1} T_{2}} + T_{2}) . \end{matrix}

Az ábrán látható két folyadék tömege akkor egyezik meg, ha fennáll

\begin{matrix} ϱ_{víz} \frac{h_{víz}}{3} (T_{0} + \sqrt[]{T_{0} T_{víz}} + T_{víz}) = ϱ_{olaj} \frac{h_{olaj}}{3} (T_{0} + \sqrt[]{T_{0} T_{olaj}} + T_{olaj}) . \end{matrix}

Innen a nyomások aránya

\begin{matrix} \frac{p_{víz}}{p_{olaj}} = \frac{ϱ_{víz} h_{víz}}{ϱ_{olaj} h_{olaj}} = \frac{T_{0} + \sqrt[]{T_{0} T_{olaj}} + T_{olaj}}{T_{0} + \sqrt[]{T_{0} T_{víz}} + T_{víz}} > 1. \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy a pohár aljának keresztmetszete mindkét esetben ugyanakkora

(T_{0})

, és hogy a felfelé szélesedő pohárnál

T_{olaj} > T_{víz}

).
Megállapíthatjuk tehát, hogy a vízzel töltött pohár alján lesz a nyomás nagyobb.

Megjegyzés. A megoldás gondolatmenete alapján könnyen belátható, hogy a felfelé keskenyedő pohárnál éppen fordított lenne a helyzet: ugyanakkora tömegű olaj és víz esetén az olaj nyomása lenne nagyobb. Hengeres pohárnál a fenéknyomás nyilván független a folyadék sűrűségétől, hiszen éppen a folyadék súlyának és a pohár keresztmetszetének hányadosával egyenlő.