Kezdőlap


Feladat:	A.329	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dobrovolska Galyna , Egri Attila , Gáti Beatrix , Hablicsek Márton , Horváth Márton , Hubai Tamás , Kiss-Tóth Christián , Kocsis Albert Tihamér , Kórus Péter , Maga Péter , Mánfay Máté , Mészáros Tamás , Pach Péter Pál , Paulin Roland , Pongrácz András , Puskás Anna , Rácz Béla András , Sali András , Torma Róbert
Füzet:	2004/május, 292 - 293. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Kör geometriája, Körülírt kör, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: A.329

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a $P Q$ egyenes metszéspontjai a $k_{1}$ , $k_{2}$ körökkel és az $A B Q$ háromszög köré írt $k_{3}$ körrel $E$ , $F$ , $G$ , $H$ és $R$ az ábra szerint. A $Q$ , $G$ , $E$ , $P$ , $F$ , $H$ pontok az $e$ egyenes választásától nem függnek, és mindig ebben a sorrendben helyezkednek el.

P

pontnak a

k_{1}

és

k_{3}

körökre vonatkozó hatványából

P E \cdot P F = P A \cdot P B = P Q \cdot P R

. Ebből következik, hogy a

P R = \frac{P E \cdot P F}{P Q}

előjeles távolság állandó, és így az

R

pont is rögzített. Az

R

pont a

P F

szakasznak belső pontja, mert

0 < \frac{P R}{P F} = \frac{P E}{P Q} < 1

. Ebből következik, hogy

R

belső pontja a

k_{1}

és a

k_{2}

köröknek is.
A

P

pont az

A B

szakasz belsejébe esik, mert

P

belső pontja

k_{1}

-nek; az

A

és

B

pontokat ezért a

P Q

egyenes elválasztja. Tekintsük azt a három körívet, amelyre a

k_{3}

kört az

A

B

és

Q

pontok felosztják. Az

A

és

B

pontok a

k_{2}

belsejében vannak, a

Q

pont pedig kívül. Ebből következik, hogy a három ív közül a

Q A

és

Q B

ívek metszik a

k_{2}

kört, tehát a

C

és

D

pontok ezen a két köríven helyezkednek el. A

Q

D

B

R

A

és

C

pontok tehát mindig az ábrán látható sorrendben követik egymást a

k_{3}

körön. Ebből következik, hogy a

C D

és

P Q

szakaszok metszik egymást. A metszéspontot jelöljük

S

-sel.
Azt állítjuk, hogy az

S

pont sem függ az

e

egyenes megválasztásától. Az

S

pontnak a

k_{2}

és

k_{3}

körökre vonatkozó hatványából

S G \cdot S H = S C \cdot S D = S Q \cdot S R

. Az előjeles szorzat negatív, ezért az

S

pont a

Q R

és a

G H

szakasznak is belső pontja, tehát a

P Q

egyenesen

G

és

R

között helyezkedik el. Az

S G

szakasz előjeles hosszával kifejezve az

S H

S R

és

S Q

előjeles távolságokat,

\begin{matrix} S G \cdot S H = S Q \cdot S R, S G \cdot (S G - H G) = (S G + G Q) \cdot (S G - R G) \\ S G = \frac{R G \cdot G Q}{H G + G Q - R G} = \frac{R G \cdot G Q}{H R + G Q} . \end{matrix}

S Q

szakasz előjeles hossza tehát állandó, az

S

pont nem függ az

e

egyenes megválasztásától.

Megjegyzés. Több versenyző elfeledkezett a pontok lehetséges helyzeteinek vizsgálatáról, és csak annyit bizonyított be, hogy a

C D

egyenesek egy ponton mennek át. Ők 4 pontot kaptak.