Kezdőlap


Feladat:	B.3681	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sándor Ágnes Petra
Füzet:	2004/május, 288. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: B.3681

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a tetraéder egyik leghosszabb éle $C D$ , az ezzel szemközti él hossza $A B = x \leq 2$ . Az $x$ függvényében becslést adunk a tetraéder térfogatára.

Először az

A B C

háromszög

C

-hez tartozó

C T

magasságát becsüljük meg (ábra). Legyen a

T

-hez közelebbi (nem távolabbi) csúcs az

A B

szakaszon az

A

. Ekkor

B T \geq \frac{x}{2}

és a

B T C

derékszögű háromszögből

\begin{matrix} C T = \sqrt[]{B C^{2} - B T^{2}} \leq \sqrt[]{4 - \frac{x^{2}}{4}} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan kapjuk, hogy az

A B D

háromszög

A B

-hez tartozó

m_{1}

magasságára:

\begin{matrix} m_{1} \leq \sqrt[]{4 - \frac{x^{2}}{4}} . \end{matrix}

(2)

A tetraéder

C Q = m

magassága nem lehet nagyobb a

C T

lapmagasságnál, ezért

\begin{matrix} m \leq C T \leq \sqrt[]{4 - \frac{x^{2}}{4}} . \end{matrix}

(3)

A tetraéder térfogata:

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A B \cdot m_{1} \cdot m

. (1), (2) és (3) miatt

\begin{matrix} V \leq \frac{1}{6} x \sqrt[]{4 - \frac{x^{2}}{4}} \cdot \sqrt[]{4 - \frac{x^{2}}{4}} = \frac{x}{6} (4 - \frac{x^{2}}{4}) = \frac{x}{24} (16 - x^{2}) . \end{matrix}

Elég bizonyítani, hogy

x (16 - x^{2}) \leq 24

, vagy másképpen

\begin{matrix} 24 - x (16 - x^{2}) = (x - 2) (x^{2} + 2 x - 12) \geq 0. \end{matrix}

Ez most valóban teljesül, mert

x \in] 0; 2]

, és ebben az intervallumban

x - 2 \leq 0

és

x^{2} + 2 x - 12 < 0

Megjegyzések. 1. A feladat és a megoldás lényegében azonos Reiman István: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959‐1994 című könyvének 1967/2. feladatával.
2. Az

x (16 - x^{2})

függvény

] 0; 2]

-ben felveszi a maximumát az

x = 2

helyen, és ennek a maximumnak eleget tevő tetraéderben az

A B C

és

A B D

lapok 2 oldalhosszúságú szabályos háromszögek, amelyeknek síkjai merőlegesek egymásra.