Kezdőlap


Feladat:	B.3673	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kondor Olivér , Németh Zsolt
Füzet:	2004/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	1951/december: Egyenlőtlenségek (4) Feladatok: 2003/november: B.3673, 1951/november: 349. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az első két egyenlet megfelelő oldalainak kivonásából következik, hogy

\begin{matrix} (z - y) (z + y) + x (z - y) = 6, azaz (z - y) (x + y + z) = 6. \end{matrix}

(1)

A második két egyenlet megfelelő oldalait kivonva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} (y - x) (y + x) + z (y - x) = 6, azaz (y - x) (x + y + z) = 6. \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből következik:

y - x = z - y

, vagyis

z = 2 y - x

.
Az utóbbit helyettesítsük be az eredeti második egyenletbe, ekkor az első egyenlet felhasználásával felírható a következő egyenletrendszer:

\begin{matrix} \begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} - 2 x y & = 13 \\ x^{2} + y^{2} + x y & = 7, \end{matrix}} \end{matrix}

amiből kapjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} 7 x^{2} + 28 y^{2} - 14 x y & = 91, \\ 13 x^{2} + 13 y^{2} + 13 x y & = 91. \end{matrix} \end{matrix}

Az alsóból a felsőt kivonva, majd 3-mal osztva:

2 x^{2} - 5 y^{2} + 9 x y = 0

, amit szorzattá bonthatunk:

(x + 5 y) (2 x - y) = 0

. Mivel

x + 5 y > 0

, azért

y = 2 x

z = 2 \cdot 2 x - x = 3 x

. Ekkor az eredeti első egyenlet:

x^{2} + 4 x^{2} + 2 x^{2} = 7

, vagyis

x^{2} = 1

.
Mivel

x >

0, azért

x = 1

y = 2

z = 3

. Ellenőrizhetjük, hogy valóban mindhárom egyenletet teljesítik ezek a számok.

II. megoldás. Értelmezzük az egyenleteket egy-egy háromszögre felírt koszinusztételként. A

\sqrt[]{7}

x

y

oldalú háromszögben

\begin{matrix} {(\sqrt[]{7})}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 cos α \cdot x y = x^{2} + y^{2} + x y . \end{matrix}

Itt

- 2 cos α = 1

, amiből

cos α = - \frac{1}{2}

, vagyis

α = 120^{\circ}

.
Hasonlóképpen a

\sqrt[]{13}

x

z

és a

\sqrt[]{19}

y

z

oldalú háromszögekben:

\begin{matrix} \begin{matrix} {(\sqrt[]{13})}^{2} = x^{2} + z^{2} - 2 cos β \cdot x z, & ahol β = 120^{\circ}, \\ {(\sqrt[]{19})}^{2} = y^{2} + z^{2} - 2 cos γ \cdot y z & ahol γ = 120^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezekben a háromszögekben tehát az ismert oldalakkal szemben rendre

120^{\circ}

-os szög van. A három háromszöget

120^{\circ}

-os szögüknél összeillesztve egyetlen háromszöget kapunk, melynek oldalai:

\sqrt[]{7}

\sqrt[]{13}

\sqrt[]{19}

. Az illesztési pont a háromszög izogonális pontja lesz, egy háromszögnek pedig legfeljebb egy ilyen pontja van. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. Egy megoldást viszont tudunk mondani, ez a következő:

x = 1

y = 2

z = 3