Kezdőlap


Feladat:	B.3623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha Emőke , Kurgyis Zsuzsanna
Füzet:	2004/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: B.3623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $x = \sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2}$ jelöléssel:

\begin{matrix} x^{3} = (\sqrt[]{5} + 2) - (\sqrt[]{5} - 2) - 3 \sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2}), \end{matrix}

{(a - b)}^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)

azonosság alapján.
Mivel

(\sqrt[]{5} + 2) (\sqrt[]{5} - 2) = 1

, azért összevonás után

x^{3} = 4 - 3 x

adódik. A kapott egyenlet 0-ra rendezett alakja alapján:

\begin{matrix} 0 = x^{3} + 3 x - 4 = (x^{3} - x^{2}) + (x^{2} - x) + (4 x - 4) . \end{matrix}

Szorzattá alakítjuk:

\begin{matrix} 0 = x^{2} (x - 1) + x (x - 1) + 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 4) . \end{matrix}

Azonban

x^{2} + x + 4 = {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{15}{4} > 0

, így csak

x = 1

teljesülhet. Tehát a megadott

x

kifejezés értéke valóban racionális szám, hiszen értéke 1.

II. megoldás. Mivel

\begin{matrix} {(\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2})}^{3} = \frac{5 \sqrt[]{5} + 15 + 3 \sqrt[]{5} + 1}{8} = \sqrt[]{5} + 2 \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2})}^{3} = \frac{5 \sqrt[]{5} - 15 + 3 \sqrt[]{5} - 1}{8} = \sqrt[]{5} - 2, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} \sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2} = \sqrt[3]{{(\frac{\sqrt[]{5} + 1}{2})}^{3}} - \sqrt[3]{{(\frac{\sqrt[]{5} - 1}{2})}^{3}} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} - \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} = 1, \end{matrix}

azaz

\sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2}

valóban racionális szám, melynek értéke 1.

III. megoldás. Először szorozzuk meg a kifejezést 2-vel, aztán alakítsuk át:

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \sqrt[3]{\sqrt[]{5} + 2} - 2 \sqrt[3]{\sqrt[]{5} - 2} = \sqrt[3]{8 \sqrt[]{5} + 16} - \sqrt[3]{8 \sqrt[]{5} - 16} = \\ = \sqrt[3]{5 \sqrt[]{5} + 3 \cdot 5 + 3 \sqrt[]{5} + 1} - \sqrt[3]{5 \sqrt[]{5} - 3 \cdot 5 + 3 \sqrt[]{5} - 1} = \\ = \sqrt[3]{{(\sqrt[]{5} + 1)}^{3}} - \sqrt[3]{{(\sqrt[]{5} - 1)}^{3}} = (\sqrt[]{5} + 1) - (\sqrt[]{5} - 1) = \sqrt[]{5} + 1 - \sqrt[]{5} + 1 = 2. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát az eredeti kifejezés ennek a fele, azaz 1, ami racionális.