Kezdőlap


Feladat:	B.3616	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Békéssy Herman András
Füzet:	2004/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Koordináta-geometria, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	1951/december: Egyenlőtlenségek (4) Feladatok: 2003/február: B.3616, 1951/november: 342. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $(x; y)$ a két egyenes metszéspontja. $(x; y)$ nem lehet $(1; 1)$ vagy $(- 1; 1)$ , mert akkor a két egyenes azonos.
Az $e$ meredeksége $m_{e} = \frac{y - 1}{x - 1}$ , $f$ meredeksége $m_{f} = \frac{y - 1}{x + 1}$ .
1. eset: $m_{e} > m_{f}$ , azaz $m_{e} - m_{f} = 2$ .

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{y - 1}{x - 1} - \frac{y - 1}{x + 1} = 2, & \frac{2 (y - 1)}{x^{2} - 1} = 2, \\ y - 1 = x^{2} - 1, & y = x^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

2. eset:

m_{f} > m_{e}

, azaz

m_{e} - m_{f} = - 2

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{y - 1}{x - 1} - \frac{y - 1}{x + 1} = - 2, & \frac{2 (y - 1)}{x^{2} - 1} = - 2, \\ y - 1 = 1 - x^{2}, & y = 2 - x^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

e

és az

f

egyenesek metszéspontjai tehát egy-egy parabolára illeszkednek. A rendezési lépéseink mindegyike megfordítható, ha

x \neq \pm 1

, ezért a metszéspontok halmaza az

y = x^{2}

és az

y = 2 - x^{2}

egyenletű parabolák egyesítése az

(1; 1)

és

(- 1; 1)

pontok kivételével (amelyeket egyébként már a megoldás elején is kizártunk).

Megjegyzés. Azt, hogy a két egyenes meredekségének különbsége 2, nagyon sokan úgy értelmezték, hogy az első a meredekebb (néhányan a másodikat vették meredekebbnek), és nem vizsgálták meg a másik esetet.