I. megoldás. Az adott pontok véges sok egyenest határoznak meg. Így létezik olyan egyenes, amely ezek egyikével sem párhuzamos. Húzzunk párhuzamost egy ilyen egyenessel az összes adott ponton át. Ezek a párhuzamos egyenesek mind különböznek egymástól. Metsszük el ezeket a párhuzamos egyeneseket egy újabb egyenessel. A metszéspontok halmaza ugyanannyi pontból áll, mint az adott ponthalmaz, a két halmaz elemeit a párhuzamos egyenesek kölcsönösen egyértelműen feleltetik meg egymásnak. A metszéspontok által meghatározott szakaszok felezőpontjait kékre festve megállapíthatjuk, hogy legfeljebb annyi kék pont van, mint piros, mivel ha az adott pontok közül két pontpár felezőpontja egybeesett, akkor képeik (párhuzamos vetületeik) felezőpontjai is egybeesnek. Jelölje az adott pontok számát $n$. Jelölje a metszéspontok közül a két szélsőt $A$ és $B$, $AB$ felezőpontját $F$.
A kék pontok száma legalább $2\left(n-2\right)+1=2n-3$, ugyanis a középső $n-2$ metszéspontot $A$, illetve $B$ középpontból felére kicsinyítve csupa kék pontot kapunk, melyek közül az előbbiek mind az $AF$ szakasz belső pontjai, az utóbbiak mind a $BF$ szakasz belső pontjai, és még az $F$ pont is kék. Következésképp a piros pontok száma is legalább $2n-3$.
A piros pontok száma lehet $2n-3$, ha például az $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n$ pontokat egy számegyenes $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ pontjaiban vesszük föl. Ekkor ugyanis a felezőpontok éppen a 2 nevezőjű törtek 1 és az $n$ között, így a számuk éppen $2n-3$.