Kezdőlap


Feladat:	B.3659	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gábor Enikő
Füzet:	2004/május, 278 - 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Valós együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3659

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismeretes, hogy egy valós együtthatós negyedfokú polinom felbontható valós együtthatós másodfokú polinomok szorzatára, amelyek ‐ esetleg ‐ tovább faktorizálhatók. A szorzat-alak felírásához kíséreljük meg teljes négyzetté alakítani a $p (x) = x^{4} + t x^{2} + 1$ polinomot. Ez többféleképpen is megtehető:

\begin{matrix} p (x) & = {(x^{2} + \frac{t}{2})}^{2} - (\frac{t^{2}}{4} - 1), illetve & (1) \\ p (x) & = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - (2 - t) x^{2} = {(x^{2} + 1)}^{2} - (- t + 2) x^{2} és & (2) \\ p (x) & = x^{4} - 2 x^{2} + 1 + (2 + t) x^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2} - (- t - 2) x^{2} . & (3) \end{matrix}

Az (1) alak akkor lesz két négyzet különbsége, ha a második tag,

\frac{t^{2}}{4} - 1 \geq 0

, azaz

| t | \geq 2

. A (2) alak akkor, ha

- t + 2 \geq 0

, azaz

t \leq 2

, végül (3) akkor, ha

- t - 2 \geq 0

, vagyis

t \leq - 2

. Eszerint ha

| t | \geq 2

, akkor (1)-ből

\begin{matrix} p (x) = {(x^{2} + \frac{t}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt[]{t^{2} - 4}}{2})}^{2} = (x^{2} + \frac{t + \sqrt[]{t^{2} - 4}}{2}) (x^{2} + \frac{t - \sqrt[]{t^{2} - 4}}{2}) . \end{matrix}

t \leq 2

, akkor (2)-ből

\begin{matrix} p (x) & = {(x^{2} + 1)}^{2} - (- t + 2) x^{2} = {(x^{2} + 1)}^{2} - {(x \sqrt[]{- t + 2})}^{2} = \\ = (x^{2} + x \sqrt[]{- t + 2} + 1) (x^{2} - x \sqrt[]{- t + 2} + 1) . \end{matrix}

Végül ha

t \leq - 2

, akkor (3)-ból

\begin{matrix} p (x) & = {(x^{2} - 1)}^{2} - (- t - 2) x^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2} - {(x \sqrt[]{- t - 2})}^{2} = \\ = (x^{2} + x \sqrt[]{- t - 2} - 1) (x^{2} - x \sqrt[]{- t - 2} - 1) . \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy ha

t < - 2

, akkor

p (x)

három lényegesen különböző módon is felbontható két másodfokú polinom szorzatára. Ha

t = - 2

, azaz

p (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1

, akkor kétféle felbontás van,

p (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) = (x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} + 2 x + 1)

, végül ha

t > - 2

, akkor csak egy felbontás létezik: ezt

t \geq 2

esetén az (1) alakból kapjuk, ha pedig

- 2 < t < 2

, akkor a (2)-ből.

Megjegyzések. 1. Adott

p (x) = (x^{2} + a x + b) (x^{2} + c x + d)

felbontásból kiindulva természetesen végtelen sok felbontást kaphatunk, ha az egyik tényezőt megszorozzuk egy nullától különböző számmal, a másikat pedig elosztjuk vele. Az ilyen felbontásokat azonban érthető módon nem tekintjük lényegesen különbözőnek.
2. A többféle felbontás megléte azon múlik, hogy hány valós gyöke van a

p (x) = 0

egyenletnek. Könnyen igazolható, ‐ például az egyenlet megoldásával vagy a

p (x)

grafikonjának fölrajzolásával, ‐ hogy ha

t > - 2

, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke (1. ábra). Ilyenkor a négy komplex gyök két párba sorolható, ahol a párok tagjai egymás konjugáltjai. A megfelelő gyöktényezőket csak egyféleképpen lehet úgy párba állítani, hogy a szorzatuk valós együtthatós másodfokú polinom legyen.

1. ábra

t = - 2

, akkor a

p (x) = 0

egyenletnek két kétszeres valós gyöke van (2. ábra). Ekkor a gyöktényezőkből három másodfokú polinom építhető:

(x - 1) (x + 1)

(x - 1) (x - 1)

és

(x + 1) (x + 1)

. Az utóbbi kettő csak egymással szorozható, az első pedig önmagával, így ebben az esetben kétféle felbontást kapunk.

2. ábra

Végül ha

t < - 2

, akkor a

p (x) = 0

egyenletnek négy különböző valós gyöke van (3. ábra) Ezek közül bármely kettőhöz tartozó gyöktényezőt összeszorozva

p (x)

másodfokú valós együtthatós tényezőjét kapjuk, ilyenkor háromféle szorzat-alak létezik. Ha például

t = - \frac{17}{4}

, akkor a

p (x) = x^{4} - \frac{17}{4} x^{2} + 1

polinom gyökei:

x_{1} = - \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1}{2}

x_{3} = - 2

x_{4} = 2

, a háromféle szorzat-alak pedig:

\begin{matrix} p (x) & = (x^{2} - \frac{1}{4}) (x^{2} - 4) = (x^{2} + \frac{5}{2} x + 1) (x^{2} - \frac{5}{2} x + 1) = \\ = (x^{2} + \frac{3}{2} x - 1) (x^{2} - \frac{3}{2} x - 1) . \end{matrix}

3. ábra