Kezdőlap


Feladat:	B.3657	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Zsolt
Füzet:	2004/május, 277 - 278. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Hozzáírt körök, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/szeptember: B.3657

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a háromszög két befogója $a \leq b$ , átfogója $c$ , félkerülete $s$ . Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon $A$ , $B$ , $C$ -vel, a beírt kör középpontja legyen $O$ , a hozzáírt körök középpontjai pedig az 1. ábrán látható módon $O_{a}$ , $O_{b}$ és $O_{c}$ .

1. ábra

Ismert (lásd pl.: Kiss Gy.: Amit jó tudni a háromszögekről, KöMaL 52. évf. 3. szám (2002. március), 130‐139. old), hogy ekkor a beírt kör érintési pontjai a befogókon

C

-től

s - c

távolságra helyezkednek el, az

O_{a}

O_{b}

O_{c}

középpontú hozzáírt köröknek a befogók egyenesein lévő érintési pontjai pedig

C

-től rendre

s - b

s - a

és

s

távolságra vannak.
Azok a négyszögek, melyeknek egyik csúcsa

C

, ezzel szemközti csúcsa az

O

O_{a}

O_{b}

O_{c}

pontok egyike, két további csúcsa pedig a megfelelő körnek a befogók egyenesein lévő érintési pontja, négyzetek, mert három szögük ‐ s így persze a negyedik is ‐ derékszög, továbbá a

C

-ből valamint a vele szemközti csúcsból induló két-két oldaluk egyenlő (lásd a 2. ábrát).

2. ábra

A beírt kör sugara tehát

s - c

, a hozzáírt körök sugarára pedig

s - a

s - b

, illetve

s

. Tegyük fel, hogy ez a négy szám egy számtani sorozat négy egymást követő eleme. Mivel

s - c < s - b \leq s - a < s

, azért az elemek sorrendje csak

s - c

s - b

s - a

s

lehet. Teljesülnie kell továbbá az

\begin{matrix} (s - b) - (s - c) = (s - a) - (s - b) = s - (s - a) \end{matrix}

egyenlőségeknek. Ekkor azonban

c - b = b - a = a

, vagyis

b = 2 a

c = 3 a

. Ekkor

a + b = c

, ezért nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Ilyen háromszög nem létezik, a négy kör sugara tehát nem alkothat számtani sorozatot.