Kezdőlap


Feladat:	B.3590	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz Ágnes , Baráth Géza , Bartha Ferenc , Bednay Dezső , Bérczi Kristóf , Boros Balázs , Csajbók Bence , Czank Tamás , Fehér Gábor , Garab Ábel , Gehér György , Gidófalvy Kitti , Kiss-Tóth Christián , Klobb Maja , Koltai Péter , Konfár András , Korotij Ágnes , Kórus Péter , Köllő Hanna , Pál Ágnes , Pálinkás Csaba , Persics Bálint , Pongrácz András , Révész Dániel , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Simon Balázs , Szabó Botond , Szalai Attila , Torma Róbert , Vaskó Richárd , Vass Márton
Füzet:	2004/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: B.3590

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $α = arctg u$ , $β = arctg v$ és $γ = arctg w$ . Ekkor az $x^{3} - 10 x + 11 = 0$ egyenlet gyökei $tg α$ , $tg β$ és $tg γ$ , feladatunk pedig az $α + β + γ$ összeg meghatározása. Az $x \to arctg x$ függvény értékkészlete a $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ intervallum, így $- \frac{π}{2} < α, β, γ < \frac{π}{2}$ .
Az addíciós tétel ismételt alkalmazásával:

\begin{matrix} tg (α + β + γ) = \frac{tg α + tg (β + γ)}{1 - tg α \cdot tg (β + γ)} \end{matrix}

és innen a

tg (β + γ) = \frac{tg β + tg γ}{1 - tg β \cdot tg γ}

helyettesítéssel rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} tg (α + β + γ) = \frac{tg α + tg β + tg γ - tg α \cdot tg β \cdot tg γ}{1 - (tg α \cdot tg β + tg β \cdot tg γ + tg γ \cdot tg α)} . \end{matrix}

Az adott egyenlet gyökeivel kifejezve tehát

\begin{matrix} tg (α + β + γ) = \frac{u + v + w - u v w}{1 - (u v + v w + w u)} . \end{matrix}

(1)

Az (1) jobb oldalán álló tört számlálójában és nevezőjében éppen az

x^{3} - 10 x + 11 = 0

egyenlet gyökeinek elemi szimmetrikus polinomjai állnak, amelyek a Vite formulák szerint a polinom együtthatóival kifejezhetők:

\begin{matrix} u + v + w = 0, u v + v w + w u = - 10, u v w = - 11. \end{matrix}

(2)

Innen

tg (α + β + γ) = \frac{11}{1 + 10} = 1

, ezért

α + β + γ = \frac{π}{4} + k π

, ahol

k

adott egész szám, amelynek értékét még meg kell állapítanunk.
(2) szerint a gyökök szorzata negatív, így a negatív gyökök száma páratlan; a gyökök összege nulla, tehát nem lehet mindhárom gyök negatív: pontosan egy negatív és kettő pozitív gyök van. Így

α

β

és

γ

közül egy a

(- \frac{π}{2}; 0)

, kettő pedig a

(0; \frac{π}{2})

intervallumba esik, így csak

k = 0

lehetséges.
Eredményeink szerint

arctg u + arctg v + arctg w = \frac{π}{4}

Megjegyzések. 1. Sok hiányos megoldás elégedett meg az

α + β + γ = \frac{π}{4} + k π

válasszal anélkül, hogy megadta volna

k

értékét.
2. Hasonlóan igazolható, hogy ha

tg α

tg β

és

tg γ

x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3}

polinom gyökei, akkor

tg (α + β + γ) = \frac{- a_{1} + a_{3}}{1 - a_{2}}

, illetve teljes indukcióval könnyen bizonyítható (1) általánosításaként, hogy ha az

n

-edfokú

x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + ... + a_{n}

polinom gyökei

tg α_{1}, tg α_{2}, ..., tg α_{n}

, akkor

\begin{matrix} tg (α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}) = \frac{- a_{1} + a_{3} - a_{5} + ...}{1 - a_{2} + a_{4} - ...} = \frac{\sum_{i = 1}^{[\frac{n + 1}{2}]} {(- 1)}^{i} a_{2 i - 1}}{\sum_{i = 0}^{[\frac{n + 1}{2}]} {(- 1)}^{i} a_{2 i}} . \end{matrix}