Kezdőlap


Feladat:	C.713	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tari Balázs
Füzet:	2004/február, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: C.713

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szinusz függvény $2 π$ szerint periodikus, ezért $x$ biztosan megoldás egyrészt akkor, ha

\begin{matrix} 2002 x = 2003 x + 2 k π . \end{matrix}

Innen

x = - 2 k π

, de a feltétel szerint

0 \leq x \leq 2 π

, s így

k = 0

, vagy

- 1

. Az egyenlet megoldása

x = 0

és

x = 2 π

.
Másrészt mivel

sin α = sin (π - α)

, azért a további megoldásokat az alábbi egyenletből kapjuk:

\begin{matrix} 2002 x = π - 2003 x + 2 k π . \end{matrix}

Innen

x = \frac{2 k + 1}{4005} π

, továbbra is a

[0; 2 π]

intervallumban keressük a megoldásokat, vagyis a

0 \leq \frac{2 k + 1}{4005} \leq 2

egyenlőtlenségből

- 0, 5 \leq k \leq 4004, 5

. Innen

k

lehetséges értékei

k = 0,1,2, ...,4004

.
Tehát összesen 4007 különböző megoldása van az egyenletnek és ezek:

\begin{matrix} 0, \frac{1}{4005} π, \frac{3}{4005} π, ..., \frac{2 k + 1}{4005} π, ..., \frac{8009}{4005} π és 2 π . \end{matrix}