Kezdőlap


Feladat:	C.740	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tassy Gergely
Füzet:	2004/május, 273 - 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szöveges feladatok, Tizes alapú számrendszer, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/december: C.740

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $n$ -jegyű egész számra írjuk fel a feltételt:

\begin{matrix} \bar{a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ... a_{2} a_{1}} = \frac{3}{2} \cdot a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot ... \cdot a_{2} a_{1}, \end{matrix}

(1)

ahol

a_{i} \neq 0

és

1 \leq a_{i} \leq 9

(

i = 1,2, ..., n

).
Mivel egyik számjegy sem lehet 0 ‐ hiszen akkor a jobb oldalon 0 állna ‐, igaz az alábbi két egyenlőtlenség is:

\begin{matrix} \bar{a_{n} a_{n - 1} a_{n - 2} ... a_{2} a_{1}} > \bar{a_{n} {\underset{︸}{00 ... 0}}_{n - 1}^{}} = a_{n} \cdot 10^{n - 1}, és \\ \frac{3}{2} \cdot a_{n} \cdot 9^{n - 1} \geq \frac{3}{2} \cdot a_{n} \cdot a_{n - 1} \cdot ... \cdot a_{2} \cdot a_{1} . \end{matrix}

E két egyenlőtlenséget összevetve az (1) egyenlettel kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{3}{2} \cdot a_{n} \cdot 9^{n - 1} > a_{n} \cdot 10^{n - 1} . \end{matrix}

Osztva

a_{n} \neq 0

-val kapjuk, hogy

\frac{3}{2} > {(\frac{10}{9})}^{n - 1}

. Innen, mivel az exponenciális függvény 1-nél nagyobb alap esetén szigorúan monoton nő, kapjuk, hogy

\begin{matrix} (n - 1) \cdot lg \frac{10}{9} < lg \frac{3}{2}, ahonnan n < \frac{lg \frac{3}{2} + lg \frac{10}{9}}{lg \frac{10}{9}} \approx 4, 848. \end{matrix}

A feladat megoldásait eszerint a legfeljebb 4-jegyű számok között kell keresnünk.
Az egyjegyű számokra nyilván nem teljesül a feltétel. Kétjegyű számokra az állítás:

\begin{matrix} \bar{a_{2} a_{1}} = \frac{3}{2} \cdot a_{2} \cdot a_{1} . \end{matrix}

Rendezve az egyenletet:

\begin{matrix} a_{2} = \frac{2 a_{1}}{3 a_{1} - 20} . \end{matrix}

(2)

Mivel

0 < a_{1}

és

0 < a_{2}

, azért

3 a_{1} - 20 > 0

, így

3 a_{1} > 20

. A lehetséges értékek:

a_{1} = 7

, 8 vagy 9. Helyettesítve (2)-be:

a_{2} = \frac{14}{1}

, nem egyjegyű,

a_{2} = \frac{16}{24 - 20} = 4

és

a_{2} = \frac{18}{7}

nem egész. Csak

a_{1} = 8

esetén kapunk megoldást, s ekkor

a_{2} = 4

, és valóban:

48 = \frac{3}{2} \cdot 4 \cdot 8

.
Háromjegyű számokra:

\begin{matrix} \bar{a_{3} a_{2} a_{1}} = \frac{3}{2} \cdot a_{3} \cdot a_{2} \cdot a_{1}, ahonnan a_{3} = \frac{20 a_{2} + 2 a_{1}}{3 \cdot a_{2} \cdot a_{1} - 200} . \end{matrix}

Mivel

a_{3} > 0

, az

a_{2} a_{1} \geq 67

feltételből a következő lehetséges értékeket kapjuk:

a_{1} = 8

a_{2} = 9

;

a_{1} = 9

a_{2} = 8

;

a_{1} = 9

és

a_{2} = 9

. Helyettesítéssel kiderül, hogy egyik esetben sem kapunk

a_{3}

-ra egyjegyű egész értéket.
Végül négyjegyű számok esetén, hasonlóan:

\begin{matrix} a_{4} = \frac{200 a_{3} + 20 a_{2} + 2 a_{1}}{3 \cdot a_{3} \cdot a_{2} \cdot a_{1} - 2000} . \end{matrix}

Innen

a_{3} a_{2} a_{1} \geq 667

, ami csak

a_{3} = a_{2} = a_{1} = 9

-re teljesül, de ez sem ad

a_{4}

-re egész megoldást.
A feladat egyetlen megoldása a 48.