Kezdőlap


Feladat:	C.739	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filus Adrienn
Füzet:	2004/május, 272 - 273. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Deltoidok, Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: C.739

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $A B = B C = 3$ cm, $C D = D A = 4$ cm. Az $A B D$ háromszög területe,

\begin{matrix} t = \frac{3 \cdot 4 \cdot sin α}{2} \end{matrix}

fele a deltoid területének, vagyis a deltoid területe:

12 \cdot sin α

. Ez akkor a legnagyobb, ha

sin α = 1

, innen

α = 90^{\circ}

és

T = 12 cm^{2}

1. ábra

Az elérhető legnagyobb területérték fele

\begin{matrix} 6 = 3 \cdot 4 \cdot sin α, \end{matrix}

innen

sin α = \frac{1}{2}

. Az

α

-ra kapott két érték

α_{1} = 30^{\circ}

α_{2} = 150^{\circ}

.
Tudjuk, hogy a 4 cm oldalú szabályos háromszög magassága

2 \sqrt[]{3} > 3

, ezért abban a háromszögben, amelynek két oldala 4 cm és 3 cm és közbezárt szögük

30^{\circ}

-os, a 4 cm hosszú oldallal szemben tompaszög van. Ez azt jelenti, hogy

α = 30^{\circ}

esetén a deltoid konkáv, míg

α = 150^{\circ}

esetén konvex (2. ábra). A feladat szövege szerint ez utóbbi négyszög átlóit kell meghatároznunk.

2. ábra

Számítsuk ki az átlók hosszát a koszinusztétel alkalmazásával:

\begin{matrix} B D^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cos 150^{\circ}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} B D = \sqrt[]{25 + 12 \sqrt[]{3}} \approx 6, 766. \end{matrix}

A deltoid területe

t = \frac{A C \cdot B D}{2}

. Írjuk be

t

és

B D

értékét és fejezzük ki

A C

-t:

\begin{matrix} A C = \frac{2 t}{B D} = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt[]{25 + 12 \sqrt[]{3}}} = \frac{12 \cdot \sqrt[]{193} \cdot \sqrt[]{25 - 12 \sqrt[]{3}}}{193} \approx 1, 773. \end{matrix}

Megjegyzés. A megoldók egy része figyelmen kívül hagyta, hogy a feltételeknek két deltoid is eleget tesz, de a feladat szövege csak a konvex deltoidról szól.