Kezdőlap


Feladat:	C.738	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/május, 271 - 272. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Szélsőérték-feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/november: C.738

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A háromszög területe nem csökken, ha akkorára nagyítjuk, hogy a legnagyobb oldala 2 legyen. Jelölje az ehhez tartozó magasságot $m$ , ami az oldalt $x$ és $2 - x$ hosszúságú szakaszokra vágja. Mivel a legnagyobb oldallal szemben van a háromszög legnagyobb szöge, a 2 hosszúságú oldalon fekvő szögek hegyesszögek, így $0 < x < 2$ . Pitagorasz tétele szerint a másik két oldal $\sqrt[]{m^{2} + x^{2}} \leq 2$ és $\sqrt[]{m^{2} + {(2 - x)}^{2}} \leq 2$ .

A háromszög akkor jön létre, ha ennek a két egyenlőtlenségnek, illetve a belőlük négyzetre emeléssel, valamint rendezéssel kapott, velük ekvivalens

x^{2} \leq 4 - m^{2}

és az

x^{2} - 4 x + m^{2} \leq 0

egyenlőtlenségeknek van közös

x

megoldása. Külön-külön az egyenlőtlenségek megoldása:

\begin{matrix} 0 < x \leq \sqrt[]{4 - m^{2}} és 2 - \sqrt[]{4 - m^{2}} \leq x \leq 2 + \sqrt[]{4 - m^{2}} . \end{matrix}

Közös megoldás pontosan akkor létezik, ha

2 - \sqrt[]{4 - m^{2}} \leq \sqrt[]{4 - m^{2}}

, azaz

2 \leq 2 \sqrt[]{4 - m^{2}}

1 \leq \sqrt[]{4 - m^{2}}

1 \leq 4 - m^{2}

, vagyis

m \leq \sqrt[]{3}

. Így a háromszög területe

t = \frac{1}{2} \cdot 2 m = m \leq \sqrt[]{3}

, és a maximális

\sqrt[]{3}

értéket akkor veszi fel, ha

m = \sqrt[]{3}

x = 1

. Ekkor a háromszög szabályos, másik két oldalának hossza is 2 egység.