Kezdőlap


Feladat:	3601. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Birkner Tamás
Füzet:	2004/január, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev testek mechanikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: 3601. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy mindegyik kifúrt gyöngy térfogata ugyanakkora, tehát a tömegük is megegyezik.

Legyen a kifúratlan, gömb alakú gyöngy sugara

R

, a furat sugara pedig

r

. Az eltávolított rész (lásd az ábrát) két, egyenként

m

magasságú gömbszeletből és egy

r

sugarú,

2 h

magasságú hengerből áll, ahol

r^{2} = R^{2} - h^{2}

és

m = R - h

. A kifúrt gyöngy térfogata:

\begin{matrix} V & = & V_{gyöngy} - 2 V_{gömbszelet} - V_{henger} = \\ = & \frac{4 R^{3} π}{3} - 2 \cdot \frac{m π}{6} (3 r^{2} + m^{2}) - 2 h \cdot r^{2} π . \end{matrix}

Felhasználva

m

és

h

fentebb megadott alakját kapjuk, hogy

\begin{matrix} V = \frac{π}{3} [4 R^{3} - (R - h) (3 R^{2} - 3 h^{2} + R^{2} - 2 R h + h^{2}) - 6 h (R^{2} - h^{2})] = \frac{4 h^{3} π}{3} . \end{matrix}

Látható, hogy ez a térfogat csak a furat magasságától függ, tehát az adott feltételek mellett mindegyik gyöngyszemre ugyanakkora.