|
Feladat: |
B.3677 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ablonczy Dávid , Birkner Tamás , Birkus Róbert , Bitai Tamás , Czank Tamás , Erdélyi Márton , Fehér Gábor , Filus Tamás , Gehér György , Gyenizse Gergő , Hegyháti Máté , Hujter Bálint , Koszta Botond , Kunovszki Péter , Kutas Péter , Nagy Csaba , Nagy-Baló András , Pálinkás Csaba , Stippinger Macrell , Strenner Balázs , Szabó Botond , Szabó Tamás , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szilágyi Dániel , Sziróczák Richárd , Ureczky Bálint , Vadász Gergely , Vass Márton |
Füzet: |
2004/március,
160 - 161. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számhalmazok, Részhalmazok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2003/november: B.3677 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban azt a számhalmazt, amely egy számhalmaz elemeinek a -szorosából áll, -val jelöljük. A feladat feltétele így , miközben az és az halmazok a pozitív egészek közös elem nélküli előállítását adják. Megmutatjuk, hogy a megfelelő számpárok olyanok, hogy egyikük a másik valódi osztója, továbbá ezek mind megfelelőek. Először azt látjuk be, hogy a nem ilyen tulajdonságú számpárokra nem valósítható meg a pozitív egészek megfelelő szétválasztása. Elsőként legyen . Ilyenkor nyilván nem valósítható meg a kívánt szétosztás, hiszen ekkor az egyenlőségből az és halmazok egyenlősége következik. A szimmetria miatt ezután föltehető, hogy , és persze, ha jó számpár, akkor is az. Nyilvánvaló, hogy ha tetszőleges pozitív egész és jó számpár, akkor is az, hiszen a megadott halmazok csak -val szorzódnak. Ennek a tulajdonságnak a megfordítása is igaz: ha a jó közös osztója, akkor az számpár is jó. Ezek szerint elegendő megtalálni a relatív prím jó számpárokat. Legyen tehát , és tegyük fel, hogy . Ekkor . Mivel ennek a halmaznak minden eleme alakban is előáll, azért miatt legalább . Ez viszont nem lehetséges, hiszen föltevésünk szerint . Így csak lehetséges. Ekkor , azaz az többszöröse. Mivel feltettük, hogy relatív prímek, ez csak úgy lehetséges, ha =1. Ezzel tehát beláttuk, hogy a relatív prím megoldásokra , szükséges. Most megmutatjuk, hogy ez elégséges is, minden ilyen számpárhoz létezik megfelelő felosztás. Egyszerűen megadjuk a kívánt tulajdonságú halmazokat. Legyenek elemei az alakú számok, ahol tetszőleges nemnegatív egész, és olyan egész szám, amit már nem oszt. Az alakú számok pedig legyenek elemei. A számelmélet alaptétele szerint így minden pozitív egész a két halmaz közül pontosan az egyikbe került, továbbá a halmaz elemeit -val szorozva valóban az -beli elemeket kapjuk és megfordítva. (Továbbra is .) A jó relatív prím számpárok tehát valóban olyanok, hogy egyike 1, másika 1-nél nagyobb tetszőleges egész. Az összes megfelelő számpár pedig az ilyenek pozitív egész többszörösei, tehát azok, ahol a számpár egyik tagja valódi osztója a másiknak.
II. megoldás. -t az előző megoldás szerint kizárhatjuk. Legyen először 1-nél nagyobb egész szám; megmutatjuk, hogy ilyenkor van megfelelő szétosztás. A következő algoritmus szerint haladjunk sorra a pozitív egész számokon: ha a soron következő számot még nem helyeztük el, akkor tegyük az -ba, az -szorosát pedig a -be. Ez azt jelenti, hogy első lépésben az 1, ami természetesen még nem került helyre, az -ba kerül, pedig -be. Az eljárás egyértelmű, és minden pozitív szám bekerül a két halmaz egyikébe. Mivel ezzel , nyilván teljesül a feladatban előírt egyenlőség. (Érdemes meggondolni, milyen algebrai tulajdonságai vannak a halmaz számmal való szorzása műveletnek.) Hasonlóan adódik a felosztás, ha 1-nél nagyobb egész. Még azt kell megmutatnunk, hogy ha sem , sem nem egész, akkor nincsen megfelelő szétosztás. Legyen olyan prím, amely sem -nak, sem pedig -nak nem osztója. Ha lenne megfelelő szétosztás, akkor -nek is ott kellene lennie az egyik halmazban, például -ban. Ekkor , tehát . Ez viszont nem lehetséges, hiszen feltevésünk szerint és relatív prímek, tehát ez a tört nem egész szám. Hasonlóan kapjuk, hogy a halmazban sem lehet. |
|