Kezdőlap


Feladat:	B.3664	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Stippinger Marcell
Füzet:	2004/március, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: B.3664

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feltételek: $p (0) = 0$ , $p (1) = 1$ , $p (- 1) = 3$ ,

\begin{matrix} p (x) = 1 \cdot x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n - 1} x + a_{n}, n \geq 1, n \in N . \end{matrix}

Helyettesítsük a polinomba az

x = 0

értéket: kapjuk, hogy

a_{n} = 0

.
Ha

n = 1

, akkor

p (x) = x + 0

. Erre a polinomra

p (- 1) \neq 3

.
Ha

n = 2

, akkor

p (x) = x^{2} + a_{1} x + 0

. Helyettesítsük az

x = 1

értéket:

p (1) = 1 + a_{1} = 1

, tehát

a_{1} = 0

. A kapott polinom:

p (x) = x^{2}

, de

p (- 1) \neq 3

.
Ha

n = 3

, akkor

p (x) = x^{3} + a_{1} x^{2} + a_{2} x + 0

.
Helyettesítsük az

x = 1

értéket:

p (1) = 1 + a_{1} + a_{2} = 1

, tehát

a_{1} + a_{2} = 0

.
Helyettesítsük az

x = - 1

értéket:

p (- 1) = - 1 + a_{1} - a_{2} = 3

, tehát

a_{1} - a_{2} = 4

. Innen:

a_{1} = 2

a_{2} = - 2

.
A keresett polinom tehát

p (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 2 x

, hiszen valamennyi feltételnek eleget tesz.