Kezdőlap


Feladat:	B.3650	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3650

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehető, hogy $α \leq β \leq γ$ . Írjuk fel $γ$ -t $180^{\circ} - (α + β)$ alakban. Ezzel az eredeti egyenlet $cos 3 α + cos 3 β + cos (180^{\circ} - (3 α + 3 β)) = 1$ alakú lesz. Azonos átalakításokkal: $cos 3 α + cos 3 β = 1 + cos (3 α + 3 β)$ . A bal oldalon a $cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} \cdot cos \frac{x - y}{2}$ , a jobb oldalon pedig az $1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ összefüggéseket felhasználva:

\begin{matrix} 2 cos \frac{3 α + 3 β}{2} \cdot cos \frac{3 α - 3 β}{2} = 2 cos^{2} \frac{3 α + 3 β}{2} \end{matrix}

adódik.
Az egyenlet további azonos átalakításával azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} cos \frac{3 α + 3 β}{2} \cdot (cos \frac{3 α + 3 β}{2} - cos \frac{3 α - 3 β}{2}) = 0. \end{matrix}

A zárójeles kifejezésre a

cos (x + y) - cos (x - y) = - 2 sin x \cdot sin y

összefüggést alkalmazva egy 0-val egyenlő szorzatot kapunk:

- 2 cos \frac{3 α + 3 β}{2} \cdot sin \frac{3 α}{2} \cdot sin \frac{3 β}{2} = 0

. Tekintettel arra, hogy sem

α

, sem

β

nem lehet

90^{\circ}

-nál nagyobb és biztosan pozitívak, hiszen egy háromszög két kisebbik szöge, a

\frac{3 α}{2}

és a

\frac{3 β}{2}

szögek szinusza nem lehet 0.

cos \frac{3 α + 3 β}{2}

viszont lehet 0. A szögekre kirótt feltételek miatt

\frac{3}{2} (α + β) = 90^{\circ}

, vagyis

α + β = 60^{\circ}

. A

γ

szög tehát valóban

120^{\circ}

-os.