Feladat: B.3648 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Simon Balázs 
Füzet: 2004/március, 158. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/május: B.3648

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenleteket:

54=(x-12)2+(y-1)2,(1')z-x=y(x+z-1),(2')54=(y+1)2+(z-12)2.(3')


Az (1') és a (3') egyenlet alapján:
(x-12)2+(y-1)2=(y+1)2+(z-12)2.
Átrendezve:
(x-12)2-(z-12)2=(y+1)2-(y-1)2,(x+z-1)(x-z)=4y.
A (2')-ből kapjuk: x-z=-y(x+z-1), ezt behelyettesítve:
-y(x+z-1)2=4y,azaz0=y(4+(x+z-1)2).
Mivel a második tényező pozitív, azért y=0, így a (2) egyenletből z-x=0, vagyis z=x. Az (1) egyenletből x2-x=x(x-1)=0, azaz x=0 vagy x=1.
Tehát x1=0, y1=0, z1=0, illetve x2=1, y2=0, z2=1, és mindkettő valóban megoldása is az egyenletrendszernek.