Kezdőlap


Feladat:	B.3642	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Birkner Tamás
Füzet:	2004/március, 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Oszthatósági feladatok, Permutációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: B.3642

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Indirekt úton bizonyítjuk, hogy nincsenek ilyen számok.
Tegyük fel, hogy $m$ és $n$ két megfelelő szám: $m < n$ és $m ∣ n$ .
Ekkor egyrészt $m ∣ n - m$ , másrészt $9 ∣ n - m$ , mert $m$ és $n$ számjegyei egyaránt $1,2,3,4,5,6,7$ ; számjegyösszegük pedig $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 3 \cdot 9 + 1$ . Ez azt jelenti, hogy $m$ és $n$ is 1 maradékot ad 9-cel osztva.
Ekkor $m$ és 9 relatív prímek, így $9 m ∣ n - m$ . Ez azonban nem lehetséges, mert $9 m > n - m$ , ugyanis $10 m > n$ , mivel $10 m$ nyolcjegyű szám. (Már $9 m$ is nyolcjegyű: $9 m \geq 9 \cdot 1 234 567 = 11 111 103$ .)

II. megoldás. Tekintsünk két ilyen számot. Mindkét szám jegyeinek összege 28, ami

3 \cdot 9 + 1

, vagyis 9-cel osztva mindkét szám 1 maradékot ad.
Legyen az egyik szám

9 l + 1

, a másik

9 k + 1

(ahol

k

l

pozitív egész számok). Ha a két szám

\frac{9 l + 1}{9 k + 1}

hányadosa egész szám, akkor az legyen

9 n + m

(ahol

n

pozitív egész,

m

pedig valamelyik 9-es maradék), vagyis

\begin{matrix} 9 l + 1 = (9 k + 1) (9 n + m) = 81 k n + 9 n + 9 m k + m . \end{matrix}

Látható, hogy

m = 1

, azaz a hányados is 1 maradékot ad 9-cel osztva.
A képezhető legnagyobb szám kisebb, mint 8 millió, a legkisebb pedig nagyobb, mint 1 millió, így a hányados értéke 1 és 7 közé esik. Ez csak úgy lehetséges, ha a hányados 1, vagyis ha a két szám egyenlő. A feladat kérdésére tehát tagadó választ adhatunk.