Kezdőlap


Feladat:	B.3634	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2004/március, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Függvényegyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: B.3634

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vegyük észre, hogy ha $i$ páratlan, akkor $k (i) = i$ , ha pedig páros, akkor $k (i) = k (\frac{i}{2})$ .
Bontsuk szét az $f (2 n)$ összeget a változó páros, illetve páratlan értékeihez tartozó tagokra:

\begin{matrix} f (2 n) = \sum_{i = 1}^{2 n} k (i) = \sum_{i = 1}^{n} k (2 i) + \sum_{i = 1}^{n} k (2 i - 1) = \sum_{i = 1}^{n} k (i) + \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) = f (n) + n^{2}, \end{matrix}

és ez éppen a bizonyítandóval ekvivalens.