A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A körvonalon adott három pont három, közös belső pont nélküli körívre osztja a körvonalat. Ezen körívek belső pontjai jöhetnek számításba a keresett érintőnégyszög negyedik csúcsaként. Meg fogjuk mutatni, hogy mindegyik köríven pontosan egy alkalmas pont található.
Válasszuk ki az egyik körívet tetszőlegesen, a körív két végpontját jelölje és , a harmadik adott pontot pedig . A kiszemelt köríven keressük a négyszög negyedik csúcsát, a pontot. Az , jelöléssel teljesül, hogy , azaz , hiszen egy konvex négyszög pontosan akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő. Ha , akkor . (Az ábrán ez az eset látható.) A szakasz pontja legyen olyan, hogy arra teljesüljön, így . Mivel az négyszög húrnégyszög, azért , az háromszög pedig egyenlő szárú, így . Ezért . A pontból így az szakasz szögben látszik, tehát rajta van az szakasz megfelelő, szögű látószögkörívén. Ugyanakkor , így az előbb említett látókörívnek és a középpontú sugarú körnek a közös pontja. Ez a metszéspont mindig létrejön és egyértelműen meghatározott, mert a látókörív ( miatt) a körülírt körön belül van; pedig kisebb -nél az háromszögre felírható háromszög-egyenlőtlenség szerint. A pont tehát szerkeszthető, és segítségével nyilván a pont is: a kezdőpontú félegyenes és az eredeti kör metszéspontja. Szerkesztésünk nyilvánvalóan helyes, hiszen a fenti lépések után valóban azt kapjuk az húrnégyszögre (ami konvex), hogy , azaz az négyszög érintőnégyszög is egyben. Ha , akkor az töröttvonal bármely ,,beleírható'' körrel együtt tengelyesen szimmetrikus az szakasz felező merőlegesére. Így a pontból és az pontból egy ilyen körhöz húzott másik érintők is egymás tükörképei erre az egyenesre nézve, vagyis éppen e felezőmerőlegesen metszik egymást. Akkor lesz az négyszög érintőnégyszög, ha van olyan kör, amelyet a négyszög minden oldala érint. Az eddigiekből következik, hogy ebben az esetben a pont csak az szakasz felező merőlegesén lehet, ez az egyenes metszi ki tehát az eredeti körből -t. Ekkor deltoidot kapunk. (Az esetet nem kell tárgyalnunk, hiszen ha nem egyenlő ez a két szakasz, választhatjuk a nagyobbat -nak a betűzéskor.) Egyik esetben sem használtuk fel a szög nagyságát. Szerkesztésünk mindkét esetben tetszőleges nagyságú szög esetén elvégezhető, tehát akármelyik ívet kiválaszthatjuk a szerkesztés kezdetén. A szerkesztésből kiderül, hogy 1-1 köríven pontosan 1 jó pont lesz, tehát bármely megadott ponthármashoz három megoldás tartozik. |