Kezdőlap


Feladat:	C.724	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2004/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög alapú hasábok, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/május: C.724

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A derékszögű háromszög egyik befogóját és a hasáb magasságát jelölje $x$ , a másik befogó legyen $b$ , az átfogó $c$ .

A feladat szövege szerint

b + c = 8

, a Pitagorasz-tételből

x^{2} = c^{2} - b^{2}

. A hasáb térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{b x^{2}}{2} = \frac{b (c^{2} - b^{2})}{2} = \frac{b ({(8 - b)}^{2} - b^{2})}{2} = 32 b - 8 b^{2} . \end{matrix}

A másodfokú függvény maximumát meghatározhatjuk teljes négyzetté alakítással. A függvénynek van maximuma, mert a másodfokú tag előjele negatív:

\begin{matrix} V = 32 b - 8 b^{2} = - 8 (b^{2} - 4 b) = - 8 [{(b - 2)}^{2} - 4] . \end{matrix}

A maximum értéke 32; ennyi lehet legfeljebb a hasáb térfogata. Ez lehetséges is, ha

b = 2

c = 6

és

x = 4 \sqrt[]{2}