Feladat:	3388. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2001/március, 186 - 187. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/december: 3388. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A ládát toló $F$ erő iránya az ábrának megfelelően $\beta$ szöget zár be a lejtővel. Jelölje azt az erőt amivel a láda a lejtőt nyomja $N$, a súrlódási erőt $S$, a súrlódási határszöget pedig ${\alpha }_0$ (ahol $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}{\alpha }_0=\mu )$! Az erők egyensúlya miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F\text{cos}\beta =}& {\displaystyle mg\text{sin}\alpha +S\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N=}& {\displaystyle mg\text{cos}\alpha -F\text{sin}\beta \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle S=}& {\displaystyle \mu N\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle F=mg\frac{\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha }{\text{cos}\beta +\mu \text{sin}\beta }=mg\frac{\text{sin}\left(\alpha +{\alpha }_0\right)}{\text{cos}\left(\beta -{\alpha }_0\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez nyilván akkor a legkisebb, ha $\beta ={\alpha }_0$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle F=mg\text{sin}\left(\alpha +{\alpha }_0\right)=mg\frac{\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha }{\sqrt[]{1+{\mu }^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Megoldásunk akkor helyes, ha $F$ még nem függőleges, és a ládát nem emeljük el a lejtőtől ($N$ pozitív). Érdekes módón a két feltétel konkrétan megfogalmazva ugyanarra az egyenlőtlenségre vezet: $\text{cos}\left(\alpha +{\alpha }_0\right)>0$. Ha ez nem teljesül, a legkönnyebb a ládát a lejtő elhagyásával egyszerűen felemelni.   II. megoldás. A test csúszik, tehát a talaj $\text{N}$ nyomóerejének és az $\text{S}$ súrlódási erőnek az eredője rajta fekszik a súrlódási határszög által kijelölt (vagyis a test pillanatnyi helyzetét megadó $T$ ponton átmenő, a lejtő normálisával ,,balra'' ${\alpha }_0$ szöget bezáró) $e$ egyenesen. Ennek az erőnek és a kérdéses $\text{F}$ erőnek vektori összege $-m\text{g}$-t kell adjon, hiszen $\text{N}+\text{S}+\text{F}+m\text{g}=0.$ Az F erőt úgy szerkeszthetjük meg, hogy a $-m\text{g}$ vektor $P$ végpontját összekötjük az $e$ egyenes valamely $Q$ pontjával. Az erő $F$ nagysága akkor a legkisebb, ha $PQ$ minimális, vagyis amikor $PQ$ merőleges $TQ$-ra. Az ábráról leolvasható, hogy $PQ$ optimális esetben a vízszintessel $\alpha +{\alpha }_0$ szöget zár be, a minimális nagyságú erő és a lejtő síkjának szöge tehát $\beta ={\alpha }_0$. A minimális erő nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F}& {\displaystyle =mg\text{sin}\left(\alpha +{\alpha }_0\right)=mg\left(\text{sin}\alpha \text{cos}{\alpha }_0+\text{sin}{\alpha }_0\text{cos}\alpha \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =mg\text{cos}{\alpha }_0\left(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}{\alpha }_0\right)=mg\frac{\text{sin}\alpha +\mu \text{cos}\alpha }{\sqrt[]{1+{\mu }^2}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mindez csak akkor igaz, ha $Q$ a $T$ ponttól ,,balra'' helyezkedik el, vagyis amíg $\alpha +{\alpha }_0<\pi /2$. Ellenkező esetben $F$ legkisebb értéke $mg$, iránya pedig függőlegesen felfelé mutat.