Feladat:	2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2003/november, 501 - 503. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Longitudinális hullámok, Egyéb elektronika, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: 2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   2. feladat. Piezoelektromos kristályrezonátor elektromos váltófeszültséggel   $a)$ A rúd bal oldali részének deformációja (relatív hosszváltozása) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta \ell }{\ell }=\frac{-v\Delta t}{u\Delta t}=\frac{-v}{u}\mathrm{,}}\end{array}$ a nyomás tehát a bal oldali felületnél $\begin{array}{c}{\displaystyle p=-YS=Y\frac{v}{u}=\varrho uv\mathrm{.}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy a lökéshullám terjedési sebessége $u=\sqrt[]{Y/\varrho }$.)   $b)$ Ha a rúd (helyről helyre és pillanatról pillanatra változó) elmozdulása $\begin{array}{c}{\displaystyle \xi \left(x\mathrm{,}t\right)={\xi }_0\text{sin}k\left(x-ut\right)\mathrm{,}}\end{array}$ akkor a sebesség (deriválással, vagy a forgómozgással való analógia kihasználásával) $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(x\mathrm{,}t\right)=-ku{\xi }_0\text{cos}k\left(x-ut\right)\mathrm{,}}\end{array}$ a deformáció (az előző alkérdés eredményének felhasználásával, vagy közvetlenül az elmozdulásfüggvény $x$ szerinti deriválásával) $\begin{array}{c}{\displaystyle S\left(x\mathrm{,}t\right)=\frac{-v\left(x\mathrm{,}t\right)}{u}=k{\xi }_0\text{cos}k\left(x-ut\right)\mathrm{,}}\end{array}$ a nyomás pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(x\mathrm{,}t\right)=\varrho uv\left(x\mathrm{,}t\right)=-k\varrho u^2{\xi }_0\text{cos}k\left(x-ut\right)=-YS\left(x\mathrm{,}t\right)\mathrm{.}}\end{array}$   $c)$ A hasáb közepe nem tud elmozdulni, így $g\left(b/2\right)\equiv 0$, emiatt $B_2=0$. Másrészt $g\left(x\right)$ maximális értéke 1, ebből $B_1=\pm 1$ következik.   $d)$ A hasáb két végénél a nyomás (és ezzel együtt a deformáció is) minden pillanatban nulla. Ez akkor teljesül, ha a hasáb szélei (a nyitott végű csövekben kialakuló hanghullámokhoz hasonlóan) az állóhullám duzzadóhelyei. Eszerint a legnagyobb lehetséges hullámhossz a hasáb $b$ hosszának kétszerese, a megfelelő frekvencia pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1=\frac{u}{2b}=273\text{kHz. }}\end{array}$ A második legkisebb frekvencia (ami annak felel meg, hogy a hasáb hossza a félhullámhossz háromszorosa): $\begin{array}{c}{\displaystyle f_2=3f_1=\frac{3u}{2b}=819\text{kHz. }}\end{array}$   $e)$ A piezoelektromos hatást leíró egyik egyenletből kifejezhetjük a mechanikai feszültséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\left(S-d_{p}E\right)Y\mathrm{,}}\end{array}$ (5) majd ezt a másik egyenletbe helyettesítve az elektromos töltéssűrűségre $\begin{array}{c}{\displaystyle \sigma =d_{p}Y\cdot S+\left({\epsilon }_T-d_p^{2}Y\right)E}\end{array}$ (6) adódik. Az elektromos térerősséget a megadott elektromos feszültségből számíthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\left(x\mathrm{,}t\right)=\frac{U\left(t\right)}{h}=\frac{U_m\text{cos}\omega t}{h}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) Mivel $E$ időfüggése $\text{cos}\omega t$ alakú, feltehetjük, hogy a hasáb $S$ deformációja is így változik időben, vagyis ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \xi \left(x\mathrm{,}t\right)}& {\displaystyle ={\xi }_m\text{sin}k\left(x-\frac{b}{2}\right)\cdot \text{cos}\omega t\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>8</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle S\left(x\mathrm{,}t\right)}& {\displaystyle =k{\xi }_m\text{cos}k\left(x-\frac{b}{2}\right)\cdot \text{cos}\omega t\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>9</mn>)}\end{array}}$ Helyettesítsük (7)-et és (9)-et az (5) egyenletbe, és használjuk ki, hogy a hasáb széleinél (pl. $x=0$-nál) a mechanikai feszültség nulla. Innen a rezgés amplitúdójára $\begin{array}{c}{\displaystyle {\xi }_m=\frac{d_p{U}_m}{hk\text{cos}\left(kb/2\right)}}\end{array}$ adódik, (6)-ból pedig leolvashatjuk, hogy a kérdéses együtthatók: $\begin{array}{c}{\displaystyle D_1=\frac{d_p^{2}Y}{\text{cos}\left(kb/2\right)}\text{és}{D}_2={\epsilon }_T-d_p^{2}Y\mathrm{.}}\end{array}$   $f)$ Az előző pontban kiszámított felületi töltéssűrűséget $x$ szerint integrálva megkapjuk a hasáb egyik kontaktusán levő teljes töltést: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q\left(t\right)=w\underset{0}{\overset{b}{\int }}\sigma \left(x\mathrm{,}t\right)dx=C_0\left[1+{\alpha }^2\left(\frac{2}{kb}\text{tg}\frac{kb}{2}-1\right)\right]U\left(t\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $C_0={\epsilon }_{T}bw/h$ a hasáb (mint $w$ széles, $b$ hosszú és $h$ vastagságú síkkondenzátor) alacsony frekvenciákon ($\omega =ku\approx 0$) érvényes kapacitása, és $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }^2=\frac{Y{d}_p^2}{{\epsilon }_T}=9\mathrm{,}82\cdot {10}^{-3}\mathrm{,}}\end{array}$ az ún. elektromechanikus csatolási állandó négyzete.