Kezdőlap


Feladat:	2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2003/november, 498 - 501. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/október: 2003. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Inga, melynek felső végét is egy súly húzhatja

a)

Mivel a fonal hossza

L = s + R θ

állandó, a megfelelő változási sebességek közötti kapcsolat:

\dot{s} + R \dot{θ} = 0

b)

Q

pont

R

sugarú körpályán mozog

\dot{θ}

szögsebességgel, a sebessége

O

-hoz viszonyítva

v_{O} = R \dot{θ} \hat{t}

, ami

- \dot{s} \hat{t}

alakba is írható.

c)

P

pont

Q

-hoz viszonyított sebessége

\begin{matrix} v_{Q} = - s \dot{θ} \hat{r} + \dot{s} \hat{t} . \end{matrix}

Az első tag az

s

sugarú,

\dot{θ}

szögsebességű körmozgás kerületi sebessége, a második tag pedig a

Q P

fonálhossz változását veszi figyelembe.

d)

P

pont

O

-hoz viszonyított (tehát az inerciarendszerben mérhető) sebessége

\begin{matrix} v = v_{O} + v_{Q} = - s \dot{θ} \hat{r} . \end{matrix}

Ez tisztán érintő irányú, összhangban azzal a ténnyel, hogy az

O

pontbeli fonaldarab pillanatnyi sebessége az inerciarendszerben mérve nulla. (Maga az

O

pont nem egy bizonyos anyagi pontot, hanem a fonal pillanatról pillanatra változó darabkáját jelöli. Ehhez a mozgó ponthoz képest a

P

pont fonál irányú sebességgel is rendelkezik, ez a fiktív mozgás azonban az inerciarendszerből szemlélve már eltűnik.)

e)

P

pontban levő részecske gyorsulásának

\hat{t}

irányú (tehát fonál irányú) komponense a centripetális gyorsulás képletének megfelelően

\begin{matrix} - s {\dot{θ}}^{2} . \end{matrix}

(1)

f)

P

pontban levő test gravitációs helyzeti energiája

\begin{matrix} U (θ) = - m g [R (1 - cos θ) + s sin θ] . \end{matrix}

(A helyzeti energiát a test indítási magasságában választottuk nullának.)

g)

A pálya legalacsonyabb pontja

θ = π / 2

-nek felel meg (itt válik a sebesség függőleges komponense nullává). Ebben a pontban a test helyzeti energiája minimális:

\begin{matrix} U_{{min}_{}^{}} = U (π / 2) = - m g [R + L - (R π / 2)] . \end{matrix}

Alkalmazva a mechanikai energiamegmaradás tételét:

\begin{matrix} E = 0 = \frac{1}{2} m v^{2} + U_{{min}_{}^{}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g [R + L - (R π / 2)]} . \end{matrix}

h)

A test mozgási energiája egy tetszőleges

θ

szöggel jellemzett helyzetben (az energiamegmaradás tétele szerint)

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = - U (θ) = m g [R (1 - cos θ) + s sin θ], \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v^{2} = (s \dot{θ})^{2} = 2 g [R (1 - cos θ) + s sin θ] . \end{matrix}

(2)

Jelöljük

K

-val a fonalat feszítő erőt. A fonál irányú mozgásegyenlet (1) felhasználásával

\begin{matrix} m (- s {\dot{θ}}^{2}) = - K + m g sin θ, \end{matrix}

(3)

ahonnan (2) segítségével kifejezhető a fonálerő:

\begin{matrix} \begin{matrix} K & = & m (s {\dot{θ}}^{2} + g sin θ) = \frac{m g}{s} [2 R (1 - cos θ) + 3 s sin θ] = \\ = & \frac{m g R sin θ}{s} [tg \frac{θ}{2} - \frac{3}{2} (θ - \frac{L}{R})] . \end{matrix} \end{matrix}

A fonal meglazulásának (

K = 0

-nak) megfelelő

θ_{0}

szögre fennáll

\begin{matrix} \frac{3}{2} (θ_{0} - \frac{L}{R}) = tg \frac{θ_{0}}{2}, \end{matrix}

amit

L / R

megadott értékének behelyettesítésével

\begin{matrix} θ_{0} - \frac{9 π}{8} = tg \frac{θ_{0}}{2} - tg \frac{π}{16} \end{matrix}

(4)

alakban is felírhatunk. Ennek az egyenletnek ránézésre megadható egy gyöke:

θ_{0} = \frac{9 π}{8}

. Ha valaki nem veszi észre ezt a megoldást, numerikusan (zsebszámológép segítségével) is megkaphatja a (4) trigonometrikus egyenletet gyökét:

θ_{0} \approx 3, 53

radián. Ellenőrizhető, hogy a

0 < θ < θ_{0}

tartományban

K > 0

, tehát a fonal korábban nem lazul meg.
A fonal legrövidebb, de még nem laza helyzetében

\begin{matrix} s = s_{{min}_{}^{}} = L - R θ_{0} = \frac{2 R}{3} ctg \frac{π}{16} \approx 3, 352 R, \end{matrix}

a test sebességének nagysága pedig ekkor (4) szerint

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{- g s_{{min}_{}^{}} sin θ_{0}} = \sqrt[]{\frac{2 g R}{3} ctg \frac{π}{16} sin \frac{π}{8}} = \sqrt[]{\frac{4 g R}{3}} cos \frac{π}{16} \approx 1, 133 \sqrt[]{g R} . \end{matrix}

i)

A mozgás további részében a test

v_{0}

kezdősebességű ferde hajítást végez. A pálya legmagasabb

H

pontjában a sebessége

\begin{matrix} v_{H} = v_{0} sin (θ_{0} - π) = \sqrt[]{\frac{4 g R}{3}} cos \frac{π}{16} sin \frac{π}{8} = 0, 433 \sqrt[]{g R} \end{matrix}

lesz, és a

H

pontig a vízszintes elmozdulása

\begin{matrix} d = \frac{v_{0}^{2} sin 2 (θ_{0} - π)}{2 g} = \frac{\sqrt[]{v_{0}^{2}}}{2 g} sin \frac{9 π}{4} = 0, 453 R . \end{matrix}

Meg kell még vizsgálnunk, hogy a

H

pont elérése előtt nem ütközik-e neki a test a rúdnak. A

θ = θ_{0}

helyzetnek megfelelő pontban a test koordinátái:

\begin{matrix} x_{0} = R cos θ_{0} - s_{{min}_{}^{}} sin θ_{0} & = & 0, 358 R, \\ y_{0} = R sin θ_{0} + s_{{min}_{}^{}} cos θ_{0} & = & - 3, 478 R . \end{matrix}

Látható, hogy

| y_{0} | > R + d

, így a test valóban eléri a pálya legmagasabb pontját.

j)

A fonál súrlódásmentes csúszása során a

m

és a

M

tömegű testből álló rendszer teljes mechanikai energiája állandó marad. Ha a

M

tömegű test a mozgása során

D

-vel mélyebbre kerül, a helyzeti energiája

M g D

értékkel csökken, ugyanennyivel nő tehát a

m

tömegű test helyzeti és mozgási energiájának összege, és ez az összeg a fonál megtapadása után is változatlan marad.
Ha

L - D

mellett

R

elhanyagolható, akkor a

m

tömegű test mozgását a továbbiakban rögzített pont körüli ingamozgásnak tekinthetjük. A fonál meglazulása szempontjából a legkényesebb helyzet a pálya legmagasabb pontja. Itt a test

L - D

magasan van a rúd felett, sebességét pedig az

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = M g D - m g (L - D) \end{matrix}

egyenlet határozza meg. A fonál akkor nem lazul meg ebben a helyzetben, ha a gravitációs erő kisebb, mint a körmozgáshoz szükséges centripetális erő:

\begin{matrix} m g < \frac{m v^{2}}{L - D}, \end{matrix}

ami a munkatételből adódó sebesség kiküszöbölésével

\begin{matrix} m g < 2 \frac{M g D - m g (L - D)}{L - D} \end{matrix}

alakra hozható. Innen

\begin{matrix} \frac{D}{L} > \frac{1}{1 + \frac{2 M}{3 m}} . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A

m / M

arány ‐ a feladat egyszerűsítő feltevéseinek teljesülése esetén ‐ egyértelműen meghatározza a

D / L

hányadost, igaz, ehhez egy bonyolult differenciálegyenletet kellene megoldanunk. A fenti egyenlőtlenség tehát tulajdonképpen csak a tömegek arányára jelent megszorítást.
2. A súrlódásmentes csúszás és nagyon nagy tapadási súrlódás feltételezése nyilván távol áll a realitástól. A leírt jelenséghez hasonló azonban mégis megvalósítható. Ha egy vékony, sima rúddal és jól csúszó, kellően hajlékony fonállal (például horgászdamillal), és megfelelően választott nehezékekkel (pl. acélcsavarokkal) végezzük el a kísérletet, a mozgás első szakasza jó közelítéssel súrlódásmentesnek tekinthető. Igaz ugyan, hogy a fonal a megtapadása után vélhetően újra megcsúszik a hengeren, de a fonál fokozatos feltekeredése miatt (kötélsúrlódás) előbb-utóbb megállítja a csúszást, éppen úgy, mintha a tapadó súrlódás nagyon nagy lenne. Egyszerű eszközökkel kísérletileg is jól vizsgálható, hogy a kérdéses furcsa mozgás valóban létrejöhet, a

m

tömegű test többször is átfordulhat a rúd felett, és a mozgás akár a fonal teljes feltekeredéséig is tarthat.