Kezdőlap


Feladat:	2002. évi Fizika OKTV III. forduló 2. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2003/április, 241 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyugalmi indukció, OKTV
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/április: 2002. évi Fizika OKTV III. forduló 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha a nagyobb hengert teljesen kitöltené a változó mágneses mező, akkor a belsejében a tengelyétől $r$ távolságban $(r \leq R)$ az indukált elektromos mező a szimmetria miatt ,,érintőleges'', és nagyságát az indukciótörvény határozza meg:

\begin{matrix} 2 r π \cdot E = \frac{Δ B}{Δ t} \cdot r^{2} π, azaz E = \frac{r}{2} \cdot \frac{Δ B}{Δ t} . \end{matrix}

Képzeljük el, hogy a feladatban szereplő mágneses mező úgy jön létre, hogy két, időben változó mágneses mező szuperponálódik:

(i)	egy egyenletesen változó, homogén $B (t)$ tér, ami a nagy hengert teljesen kitölti, és

(ii)	egy $- B (t)$ -vel jellemezhető mező, ami csak a kis henger belsejében van.

13. ábra

A kis henger valamely

P

belső pontja legyen a nagy henger

O_{1}

középpontjától

r

távolságra, a kis henger

O_{2}

középpontjától

s

távolságra, és a megfelelő vektorokat jelöljük

r

-rel, illetve

s

-sel (lásd a 13. ábrát). Ekkor

P

-ben az indukált

E

elektromos mező két indukált térerősségből szuperponálható:

E = E_{1} + E_{2}

, ahol

\begin{matrix} \begin{matrix} E_{1} & = \frac{1}{2} \frac{Δ B}{Δ t} r & B (t)változása miatt, \\ E_{2} & = \frac{1}{2} \frac{Δ B}{Δ t} s & - B (t)változása miatt. \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

E_{1} ⊥ r

és

E_{2} ⊥ s

, az

O_{2} P O_{1}

és a

P A B

háromszögeknek van egy közös szöge

(α)

. Másrészt

\begin{matrix} \frac{A B}{A P} = \frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{r}{s} = \frac{O_{1} P}{O_{2} P} \end{matrix}

miatt a két háromszögben az egyenlő szöget közrefogó oldalak aránya is egyenlő, tehát a két háromszög hasonló. Ezért

\begin{matrix} \frac{B P}{A B} = \frac{E}{E_{1}} = \frac{O_{1} O_{2}}{O_{1} P} = \frac{R}{2 r}, vagyis E = E_{1} \cdot \frac{R}{2 r} = \frac{R}{4} \frac{Δ B}{Δ t} = 2, 0 \frac{V}{m} . \end{matrix}

Másrészt

E

merőleges az

O_{1} O_{2}

egyenesre, vagyis

E

-nek nemcsak a nagysága, de az iránya is független a

P

pont helyzetétől, tehát a kisebb hengerben az indukált elektromos mező homogén.