Kezdőlap


Feladat:	3608. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Susann Almasi
Füzet:	2003/december, 569 - 571. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Foton (mint elemi részecske), Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/március: 3608. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A foton és elektron rugalmas (más részecske keletkezésével nem járó) ütközését Compton-szórásnak nevezik. Ebben a folyamatban megmarad a részecskék összenergiája és összes impulzusa, de ezeket a mennyiségeket a relativisztikus formulák alapján kell kiszámítanunk.
Jelöljük az elektron nyugalmi tömegét $m$ -mel, ütközés elötti energiáját $E$ -vel, impulzusát pedig $p$ -vel! Ezen mennyiségek között fennáll az

\begin{matrix} E^{2} = {(p c)}^{2} + {(m c^{2})}^{2} \end{matrix}

(1)

összefüggés, ahol

c

a fénysebesség vákuumban.

Megjegyzés. Az (1) összefüggés könnyen belátható az ismertebb

\begin{matrix} E = \frac{m c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, p = \frac{m v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \end{matrix}

képletek felhasználásával (

v

az elektron sebessége).

A foton energiája az ütközés előtt

\frac{h c}{λ_{0}}

, impulzusának nagysága pedig

\frac{h}{λ_{0}}

, ahol

h

a Planck-állandó. Az ütközés során a foton hullámhossza az eredeti érték felére csökken, energiája és impulzusának nagysága tehát az eredeti érték kétszeresére nő.
A bejövő foton haladási irányában az elektronnak sem az ütközés előtt, sem utána nincs impulzus-komponense, az impulzusmegmaradás törvénye szerint tehát fennáll

\begin{matrix} \frac{h}{λ_{0}} = 2 \frac{h}{λ_{0}} cos ϑ, \end{matrix}

ahonnan kiszámíthatjuk a foton szóródási szögét:

ϑ = arc cos \frac{1}{2} = 60^{\circ} .

A bejövő foton haladási irányára merőleges komponensekre felírva az impulzusmegmaradás törvényét

\begin{matrix} p = 2 \frac{h}{λ_{0}} \cdot sin ϑ, \end{matrix}

az energiamegmaradásból pedig

\begin{matrix} E + \frac{h c}{λ_{0}} = m c^{2} + 2 \frac{h c}{λ_{0}}, azaz p = \sqrt[]{3} \frac{h}{λ_{0}}, illetve E = m c^{2} + \frac{h c}{λ_{0}} \end{matrix}

következik.

E

és

p

fenti kifejezéséseit az (1) egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} {(m c^{2} + \frac{h c}{λ_{0}})}^{2} = 3 {(\frac{h c}{λ_{0}})}^{2} + {(m c^{2})}^{2} \end{matrix}

adódik, ahonnan

λ_{0} = \frac{h}{m c} = 2, 42 \cdot 10^{- 12} m.

() Susann Almasi (Clayton, USA, Diablo View Middle School)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A

λ_{0}

mennyiséget, amely csak az elektron tömegétől és természeti állandóktól függ, az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Ha az elektronokkal ütköző fotonok hullámhossza a Compton-hullámhossz nagyságrendjébe esik (vagy annál kisebb), akkor a meglökött elektronok sebessége (sebességváltozása) összemérhető a fénysebességgel.

λ_{0}

sokkal kisebb, mint az atomok mérete, de sokkal nagyobb, mint az atommagok átmérője. A

λ_{0}

hullámhosszúságú fotonok az elektromágneses színképben a röntgen és gamma tartomány határára esnek. Ha ennél sokkal rövidebb hullámhosszúságú ,,fényt'' bocsátunk elektronokra, akkor ahelyett, hogy az elektronok

λ_{0}

-nál kisebb részleteit ,,látnánk'', elektron-pozitron párok keletkezését figyelhetjük meg. A Compton-hullámhossznak tehát érdekes szemléletes jelentés is tulajdonítható: bizonyos értelemben az elektronok mérete éppen

λ_{0}

() (G. P.)