Kezdőlap


Feladat:	3570. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bóka Gergely , Dudás László , Török Edwin
Füzet:	2003/május, 307 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Soros RLC-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/november: 3570. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A soros $R L C$ -körben folyó áramerősség

\begin{matrix} I = \frac{U}{\sqrt[]{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}}, \end{matrix}

ami

X_{L}

-t változtatva akkor lesz maximális, amikor

X_{L} = X_{C}

. A legnagyobb áram

I_{0} = U / R

, és a tekercsre eső feszültség ilyenkor

U_{0} = X_{L} \cdot I_{0}

.
A tekercs feszültsége tetszőleges

X_{L}

esetén

\begin{matrix} U_{tekercs} = \frac{X_{L}}{\sqrt[]{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}} \cdot U = A \cdot U, \end{matrix}

ami akkor maximális, amikor az

A

tört reciprokának négyzete, vagyis az

\begin{matrix} \frac{1}{A^{2}} = \frac{R^{2} + X_{L}^{2} - 2 X_{L} X_{C} + X_{C}^{2}}{X_{L}^{2}} \end{matrix}

kifejezés minimális. Teljes négyzetté alakítással

\begin{matrix} \frac{1}{A^{2}} = \frac{1}{X_{L}^{2}} (R^{2} + X_{C}^{2}) - \frac{1}{X_{L}} 2 X_{C} + 1 = (R^{2} + X_{C}^{2}) {(\frac{1}{X_{L}} - \frac{X_{C}}{R^{2} + X_{C}^{2}})}^{2} + \frac{R^{2}}{R^{2} + X_{C}^{2}}, \end{matrix}

ahonnan jól látható, hogy

\frac{1}{A^{2}} \geq \frac{R^{2}}{R^{2} + X_{C}^{2}}

, vagyis

\begin{matrix} U_{tekercs} \leq U_{{max}_{}^{}} = \frac{\sqrt[]{R^{2} + X_{C}^{2}}}{R} \cdot U, \end{matrix}

és az egyenlőség akkor áll fenn, amikor

\begin{matrix} X_{L} = \frac{R^{2} + X_{C}^{2}}{X_{C}} = X_{C} + \frac{R^{2}}{X_{C}} > X_{C} . \end{matrix}

(Az áramerősség maximuma

X_{L} = X_{C}

esetben következett be, a tekercsre eső feszültség maximuma pedig ennél nagyobb

X_{L}

-nél, vagyis ‐ a feladat szövegével összhangban ‐ az áram maximumához tartozó

L

-nél nagyobb induktivitás esetén alakul ki.)
A kérdéses feszültségarány

\begin{matrix} \frac{U_{{max}_{}^{}}}{U_{0}} = \sqrt[]{1 + \frac{R^{2}}{X_{C}^{2}}}, \end{matrix}

ami

R = 2 \sqrt[]{2} X_{C}

esetén éppen 3.

() Bóka Gergely (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 12. o.t.) és
Dudás László (Pécs, Széchenyi I. Gimn. és Szki., 12. o.t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A tekercsre eső feszültség maximuma differenciálszámítás segítségével is megkapható. Az

U_{tekercs} = f (X_{L})

függvény deriváltja a maximum helyén nulla:

\begin{matrix} f' (X_{L}) = \frac{U}{{[R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}]}^{3 / 2}} \cdot (R^{2} + X_{C}^{2} - X_{L} X_{C}) = 0, \end{matrix}

ahonnan

X_{L} = \frac{R^{2} + X_{C}^{2}}{X_{C}}

. A derivált fenti képletében szereplő tört pozitív, a kérdéses értéknél kisebb

X_{L}

-re a függvény növekszik, nagyobb

X_{L}

-nél csökken, az

U_{tekercs}

függvénynek tehát a vizsgált pontban valóban maximuma van.

() Török Edwin (Temesvár, Bartók B. Líceum, 11. o.t.)