Kezdőlap


Feladat:	3576. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2003/április, 248 - 249. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/december: 3576. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A henger lejtővel érintkező $A$ pontjánál $S$ súrlódási erő hat a hengerre. Ennek és a nehézségi erő lejtő irányú komponensének hatására a henger tömegközéppontja $a$ gyorsulással mozog lefelé (1. ábra). (Válasszuk a lejtőn lefelé mutató irányt pozitívnak!) A mozgásegyenlet:

\begin{matrix} m g sin α + S = m a, \end{matrix}

(1)

a forgómozgás alapegyenlete pedig

\begin{matrix} (m g x - S) r = Θ β . \end{matrix}

(2)

Kihasználva a csúszásmentes gördülés

a = β r

feltételét,

α

megadott számértékét, továbbá azt, hogy tömör (homogén) hengerre

Θ = m r^{2} / 2

, az (1) és (2) egyenletrendszer megoldásaként a következő adódik:

\begin{matrix} S = m g \frac{4 x - 1}{6}, a = \frac{2 x + 1}{3} g . \end{matrix}

(3)

2. ábra

A képletekből vagy az

S (x)

függvény ábrázolásából (2. ábra) leolvasható, hogy

x = 1 / 4

esetén nem lép fel súrlódási erő, tehát ilyenkor még nagyon sima lejtőn (

μ = 0

esetén) sem csúszik meg a henger.
A henger és a lejtő között fellépő

N

nyomóerőt abból a feltételből számíthatjuk ki, hogy a henger a lejtőre merőlegesen nem gyorsul:

\begin{matrix} N = x m g + m g cos α = m g (x + \frac{\sqrt[]{3}}{2}) . \end{matrix}

(4)

Ez az erő nem lehet negatív, tehát

\begin{matrix} x \geq - \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

(Még szorosabb megszorítást jelent a feladat szövegében szereplő húzás kifejezés, emiatt szigorúan véve csak az

x > 0

tartománnyal kell foglalkoznunk. Értelmezhetjük azonban a feladatot kicsit általánosabban is! Ellentétes irányú tekercseléssel a lejtőre merőlegesen felfelé is húzhatjuk a hengert, ez formálisan a

- \sqrt[]{3} / 2 \geq x \geq 0

tartománynak felel meg.)

c)

A csúszásmentes gördülés feltétele általában:

\begin{matrix} μ \geq \frac{| S |}{N} = \frac{1}{3} \frac{| 4 x - 1 |}{\sqrt[]{3} + 2 x} . \end{matrix}

a = 2 g

S = \frac{3}{2} g

x = \frac{5}{2}

és

μ \geq \frac{3}{\sqrt[]{3} + 5} \approx 0, 45

.
Vizsgáljuk még meg, mozoghat-e a henger középpontja a lejtőn felfelé

2 g

gyorsulással. (Ez nyilván csak a fordítottan feltekert fonállal, vagyis

x < 0

esetén képzelhető el.) Az

a = - 2 g

gyorsuláshoz (3) szerint

x = - 7 / 2 < - \sqrt[]{3} / 2

tartozik, ennek megfelelő erő alkalmazásakor viszont a (4) egyenletből

N < 0

következik. A henger tehát nem mozoghat felfelé

2 g

gyorsulással, mert felemelkedik a lejtőről.

() Mezei Márk (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzések. 1. Érdekes, hogy

μ \geq 2 / 3

esetén bármilyen erősen húzzuk is a fonalat, a henger nem csúszhat meg, legfeljebb a fonál szakad el.
2. A legnagyobb gyorsulás felfelé

0, 24 g

lehet, ez is csak ,,végtelen nagy'' súrlódási együtthatóval (pl. fogaskerékkel és fogasléccel) valósítható meg.

() (G. P.)