Kezdőlap


Feladat:	3555. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás László , Tarján Gábor
Füzet:	2003/április, 244 - 246. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Doppler-hatás (Doppler-effektus), Interferencia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 3555. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $c$ a hangsebesség, $v$ a síp sebessége, $f_{0}$ pedig az álló síp hangjának frekvenciája! A tőlünk távolodó síptól felénk elinduló hanghullám frekvenciája a Doppler-jelenség miatt

\begin{matrix} f_{1} = f_{0} \frac{c}{c + v}, \end{matrix}

(1)

a fal felé induló hang frekvenciája pedig

\begin{matrix} f_{2} = f_{0} \frac{c}{c - v} . \end{matrix}

(2)

A lebegés jelenségét a hanghullámok találkozása és fázishelyes összegződése (interferenciája) okozza. A lebegés frekvenciája

\begin{matrix} Δ f = f_{2} - f_{1} = f_{0} (\frac{c}{c - v} - \frac{c}{c + v}) = \frac{2 c v}{c^{2} - v^{2}} f_{0} . \end{matrix}

(3)

Megjegyzés. A lebegés frekvenciaképletét a szögfüggvények addíciós tétele segítségével igazolhatjuk. Ha két egyforma amplitúdójú hullámot összegzünk, az eredő ,,kitérés'' (jelen esetben légnyomásváltakozás):

A sin ω_{1} t + A sin ω_{2} t = 2 A cos \frac{ω_{2} - ω_{1}}{2} t \cdot sin \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t

. Ezt felfoghatjuk egy olyan szinuszosan váltakozó rezgésnek, amelynek körfrekvenciája

ω_{1}

és

ω_{2}

számtani közepe (átlaga), az amplitúdója viszont

\frac{1}{2} (ω_{2} - ω_{1})

körfrekvenciával, vagyis

\frac{1}{2} (f_{2} - f_{1})

frekvenciával váltakozik. Fülünk azonban nem az amplitúdónak, hanem a hangerősségnek (az amplitúdó négyzetének) váltakozását érzékeli lebegésként, ennek frekvenciája pedig a fenti érték 2-szerese, tehát valóban

Δ f = f_{2} - f_{1}

Visszatérve a (

v

-re nézve másodfokú) (3) egyenlethez, ennek fizikailag értelmes (nemnegatív) gyöke

v = \frac{\sqrt[]{f_{0}^{2} + Δ f^{2}} - f_{0}}{Δ f} c

, amelynek numerikus értéke

Δ f = 3

Hz és (szobahőmérsékletnek megfelelő)

c = 344

m/s adatokkal számolva

v = 86

cm/s.

() Dudás László (Pécs, Széchenyi I. Gimn. és Szki., 12. o.t.) és
Tarján Gábor (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 12. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A közölt megoldás képletei csak akkor érvényesek, ha a hullámforrás (a síp) sebessége kisebb, mint a hang terjedési sebessége. Amennyiben

v > c

, a tőlünk távolodó hangforrás frekvenciájára a (2) Doppler-képlet formálisan negatív értéket ad. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a periodikusan elindított jelek nem a kibocsátás sorrendjében, hanem éppen fordítva érkeznek el a megfigyelőhöz: a később elindított jeleket ,,halljuk meg'' hamarább. Ezt a furcsaságot leszámítva a megfigyelőhöz periodikusan váltakozó jelek érkeznek, melyek frekvenciája

f_{2} = | f_{0} \frac{c}{c - v} | = f_{0} \frac{c}{v - c}

. Ha ezzel a képlettel számolva oldjuk meg a lebegés formális feltételének

\begin{matrix} Δ f = f_{2} - f_{1} = f_{0} (\frac{c}{v - c} - \frac{c}{c + v}) = \frac{2 c^{2}}{c^{2} - v^{2}} f_{0} \end{matrix}

egyenletét, a

v > c

megkötésnek eleget tevő gyök:

v = c \sqrt[]{\frac{2 f_{0}}{Δ f} + 1} = c \sqrt[]{401} \approx 20 c = 6, 8 km/s

.
Ha eltekintünk azoktól a ,,technikai nehézségektől'', hogy vajon mozoghat-e egy hangforrás ilyen nagy sebességgel (és ha igen, képes-e sípként működni), még akkor is problematikus a szuperszonikus lebegés megvalósítása. A hangforrás ugyanis valamikor nekiütközik a falnak, s a becsapódás hangja a megfigyelőhöz is eljut. A közvetlenül felénk haladó hanghullámok nyilván megelőzik a becsapódás hangját, a falról visszaverődő jelek pedig a becsapódás észlelése után érnek csak a megfigyelő füléhez: interferenciát ez a kétféle hang tehát biztosan nem hozhat létre! Ha viszont ‐ mondjuk ‐ két szuperszonikus hangforrás mozog egyforma sebességgel a fal felé, és egyforma frekvenciával sugároznak, akkor az elöl haladónak a falról visszaverődő hangja és a hátsónak felénk kibocsátott hangja ‐ elvben ‐ előidézhet lebegést.

() (G. P.)