Kezdőlap


Feladat:	3554. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bóka Gergely , Vigh Máté
Füzet:	2003/április, 243 - 244. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev testek dinamikája, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 3554. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltételezzük, hogy a golyó és a henger ugyanabból az anyagból készült, vagyis a súrlódási tulajdonságaik megegyeznek, továbbá mindkét testnél a gördülési ellenállást és a légellenállást figyelmen kívül hagyhatjuk.

Vizsgáljuk egy

Θ

tehetetlenségi nyomatékú test tiszta gördülését

α

hajlásszögű lejtőn. Az ábra jelöléseivel a mozgásegyenletek:

m g sin α - S = m a

és

S r = Θ β

, a tiszta gördülés feltétele pedig

r β = a

és

S \leq μ N = μ m g cos α

. Innen

\begin{matrix} a = g \frac{sin α}{1 + \frac{Θ}{m r^{2}}} . \end{matrix}

Mivel

\frac{Θ}{m r^{2}}

alakfüggő (gömbre

0, 4

; hengerre pedig

0, 5

), tiszta gördülés esetén a golyó és a henger gyorsulása különböző lesz, tehát nem érhetnek le egyszerre a lejtő aljára.
Ha a lejtőn mozgó test csúszik és gurul (köszörül), akkor fennáll

S = μ m g cos α

, ahonnan

a = g (sin α - μ cos α)

. Ez a kifejezés független a tehetetlenségi nyomatéktól, tehát mind a gömbre, mind pedig a hengerre ugyanakkora nagyságú. A kezdősebesség nélkül indított csúszva gördülő henger tehát ugyanakkor ér le a lejtő aljára, mint az ugyancsak csúszva gördülő golyó. A köszörülés kinematikai feltétele:

a > r β

, ami ‐ a mozgásegyenletek megoldása után ‐ így is írható:

\begin{matrix} μ < \frac{tg α}{1 + \frac{m r^{2}}{Θ}} . \end{matrix}

Ez a feltétel a gömb esetén adja a szigorúbb megszorítást:

μ < \frac{2}{7} tg α

.
Mindeddig a tapadási és a csúszási súrlódási együtthatókat egyforma nagyságúnak tekintettük. Ha ezt nem tesszük, hanem megengedjük a

μ_{t} \neq μ_{cs}

lehetőséget is (

μ_{t} > μ_{cs}

), akkor úgy is megvalósulhat a feladat feltétele, hogy a gömb tisztán gördül, a henger pedig csúszik. Ez akkor következik be, ha

\begin{matrix} \frac{2}{7} tg α < μ_{t} < \frac{1}{3} tg α . \end{matrix}

Ilyenkor

a_{henger} = g (sin α - μ_{cs} cos α)

és

a_{gömb} = \frac{5}{7} g sin α

. A két gyorsulás akkor egyezik meg, ha

\begin{matrix} μ_{cs} = \frac{2}{7} g tg α . \end{matrix}

() Bóka Gergely (Szolnok, Verseghy F. Gimn., 12. o.t.) és
Vigh Máté (Pécs, Babits M. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján