Kezdőlap


Feladat:	3556. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szabó Áron
Füzet:	2003/február, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 3556. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $B$ mágneses indukciójú mezőbe belépő $Q$ töltésű részecskékre ható Lorentz-erő merőleges a sebességükre, emiatt a mozgási energiájuk (sebességük $v$ nagysága) nem változik meg. A részecskék körpályán, pontosabban mondva annak egy darabján, köríven mozognak. A körív $R$ sugara a mozgásegyenletből számítható:

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{R} = B Q v, ahonnan R = \frac{m v}{B Q} . \end{matrix}

Az ábráról leolvasható, hogy a töltött részecske pálya-körívének nyílásszöge:

\begin{matrix} 2 α = 2 arctg \frac{r}{R} = 2 arctg \frac{r B Q}{m v}, \end{matrix}

ahonnan a körív hossza

\begin{matrix} s = 2 R α = \frac{2 m v}{B Q} arctg \frac{r B Q}{m v}, \end{matrix}

az áthaladáshoz szükséges idő pedig

\begin{matrix} t = \frac{s}{v} = \frac{2 m}{B Q} arctg \frac{r B Q}{m v}, \end{matrix}

amiben csak egyetlen változó mennyiség szerepel: a

v

sebesség.

A sebesség növelésével az

\frac{r B Q}{m v}

mennyiség csökken, és mivel az árkusztangens függvény szigorúan monoton nő,

t

értéke

v

növelésével csökken. Tehát a nagyobb sebességű részecskék hamarabb hagyják el a toroidot, mint a lassúbbak.

() Szabó Áron (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzés. A fenti megoldás a klasszikus (nemrelativisztikus) mechanika törvényeit követi, tehát a fénysebességhez közeli sebességek esetén érvényét veszti. Relativisztikus mozgás esetén a megoldás alakilag hasonló marad a newtoni mozgásegyenletből származtatottakhoz, de az áthaladási idő képletében a részecske tömegének helyébe

\frac{m}{\sqrt[]{1 - v^{2} / c^{2}}}

-t kell írni. Belátható, hogy ebben a tartományban is igaz: a gyorsabb részecskék hamarabb elhagyják a toroid légrését.