Kezdőlap


Feladat:	3553. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mezei Márk , Sótér Anna
Füzet:	2003/február, 114 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb erőtörvény, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 3553. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Vizsgáljuk először a $k > 1$ esetet! A kérdéses $ε$ szög ‐ amely a vizsgált tartományban hegyesszög ‐ akkor a legnagyobb, amikor a tangense maximális. Ez viszont könnyen kifejezhető $α$ -val:

\begin{matrix} tg ε = \frac{F sin α}{F k + F cos α} = \frac{sin α}{k + cos α} = f (α) . \end{matrix}

Ennek a függvénynek a maximumát differenciálszámítás segítségével határozhatjuk meg. A derivált eltűnésének feltétele:

\begin{matrix} f' (α) = \frac{cos α \cdot (k + cos α) - sin α \cdot (- sin α)}{{(k + cos α)}^{2}} = \frac{k cos α + 1}{{(k + cos α)}^{2}} = 0, \end{matrix}

ahonnan a szélsőértéknek megfelelő

α_{0}

szögre

cos α_{0} = - \frac{1}{k}

. Ennél a szögnél az

f (α)

függvény második deriváltja negatív, tehát

α_{0}

-nál valóban maximumot találunk.

ε

legnagyobb értéke:

\begin{matrix} ε_{{max}_{}^{}} = arctg f (α_{0}) = arctg \frac{1}{\sqrt[]{k^{2} - 1}} . \end{matrix}

Látható, hogy

α_{0} > 90^{\circ}

, de

ε_{{max}_{}^{}} < 90^{\circ}

.
Ha

k = 1

, akkor a két összegzendő erő egy rombuszt feszít ki. Az eredő erő ennek a rombusznak az átlója, ami szögfelelő, tehát

ε = \frac{α}{2}

. Ha

0 < α < 180^{\circ}

, akkor

0 < ε < 90^{\circ}

. Ezen tartományon

ε

-nak nincs legnagyobb értéke, csak felső határa (nevezetesen a derékszög), és ezt a felső határt tetszőlegesen megközelítheti. Ha

α = 180^{\circ}

, akkor az eredő erő nullvektor, melynek nincs határozott iránya.

() Mezei Márk (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., 11. o.t.)

II. megoldás. A feladat elemi geometriai úton is megoldható. Az eredő

\vec{O S}

erőt úgy is megkaphatjuk, hogy a

k F

nagyságú

\vec{O P}

erő végpontjából felmérjük az

F

nagyságú

\vec{P S}

erőt (1. ábra). Ha az

α

szöget változtatjuk, az

S

pont egy

F

sugarú köríven fog mozogni. Az

ε

szög akkor a legnagyobb, amikor az

O S

egyenes érinti a kört, vagyis ha

O S

merőleges

P S

-re (2. ábra). Ennek a helyzetnek megfelelő szögekre fennáll:

cos (180^{\circ} - α_{0}) = - cos α_{0} = \frac{1}{k}

, illetve

\begin{matrix} sin ε_{{max}_{}^{}} = \frac{F}{k F}, azaz ε_{{max}_{}^{}} = arc sin \frac{1}{k} = arctg \frac{1}{\sqrt[]{k^{2} - 1}} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

k = 1

, akkor az

O

pont rajta fekszik a körön. Ilyenkor az

ε

szög

0

és

90^{\circ}

között változik, de a felső határát (a derékszöget) nem érheti el, csak tetszőlegesen megközelítheti azt.

() Sótér Anna (Székesfehérvár, Ciszterci Szent István. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján