Kezdőlap


Feladat:	2002. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2002/november, 496 - 499. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Nemzetközi Fizika Diákolimpia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/október: 2002. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Egy-egy kerék tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Egy 0,025 $M$ tömegű, 0,8 $R$ sugarú küllő tehetetlenségi nyomatéka (a végpontjára vonatkoztatva) az ismert $Θ = m l^{2} / 3$ elméleti formula alapján $Θ_{küllő} = 5, 33 \cdot 10^{- 3} M R^{2}$ . A kerék hengeres részének tehetetlenségi nyomatéka a tömör henger és a lyukat kitöltő tömör henger tehetetlenségi nyomatékának különbségeként számolható. A tömeg- és területarányok egyenlősége alapján kapható, hogy $m_{tömör} = 2, 22 M$ , $m_{lyuk} = 1, 42 M$ , a sugarak pedig $0, 8 R$ és $R$ . Felhasználva, hogy egy tömör henger esetén $Θ = m R^{2} / 2$ , a vizsgált henger tehetetlenségi nyomatéka $Θ_{henger} = Θ_{tömör} - Θ_{lyuk} = \frac{1}{2} [m_{tömör} R^{2} - m_{lyuk} {(0, 8 R)}^{2}] = 0, 656 M R^{2},$ a kerék egészének tehetetlenségi nyomatéka pedig: $Θ = Θ_{henger} + 8 Θ_{küllő} = 0, 699 M R^{2} \approx 0, 7 M R^{2} .$

2. A mozgásegyenletek
Az

5 M

tömegű kocsitestre a nehézségi erő és a kerekek (azok forgástengelye) által kifejtett erő hat.

4. ábra

A kerekek által kifejtett erőket célszerű lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensekre bontani. Mivel a kocsitest a lejtőn lefelé haladva gyorsul, de nem forog, mozgásegyenletei a 4. ábra jelöléseivel a következő alakba írhatók:

\begin{matrix} 5 M a = 5 M g sin α - K_{1} - K_{2}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 5 M g cos α = N_{1} + N_{2}, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} N_{2} l = N_{1} l + K_{1} h + K_{2} h . \end{matrix}

(3)

M

tömegű,

R

sugarú,

0, 7 M R^{2}

tehetetlenségi nyomatékú hátsó kerékre a gravitációs erőn túl tengelynél a kocsitest, a talajjal érintkező pontban pedig a lejtő fejt ki erőt (5. ábra). A kerék tömegközéppontjának gyorsulása

a

, a szöggyorsulást pedig jelölje

β_{1}

. A kerék mozgásegyenletei:

\begin{matrix} M a = K_{1} - S_{1}, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} M g cos α + N_{1} = T_{1}, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} 0, 7 M R^{2} β_{1} = S_{1} R . \end{matrix}

(6)

Ha a hátsó kerék tisztán gördül, akkor:

\begin{matrix} a = R β_{1}, \end{matrix}

(7/a)

ha viszont csúszva gördül, akkor:

\begin{matrix} S_{1} = μ_{k} N_{1} . \end{matrix}

(7/b)

5. ábra

6. ábra

Az első keréknél (6. ábra) a hátsó kerékhez hasonlóan:

\begin{matrix} M a = K_{2} - S_{2}, \end{matrix}

(8)

\begin{matrix} M g cos α + N_{2} = T_{2}, \end{matrix}

(9)

\begin{matrix} 0, 7 M R^{2} β_{2} = S_{2} R . \end{matrix}

(10)

Tiszta gördülésnél

\begin{matrix} a = R β_{2}, \end{matrix}

(11/a)

ha pedig csúszva gördül, akkor:

\begin{matrix} S_{2} = μ_{k} N_{2} . \end{matrix}

(11/b)

3. A különböző mozgástípusok elemzése
a) Tételezzük fel, hogy olyanok a viszonyok, hogy mindkét kerék tisztán gördül. Ekkor az

(1)

‐

(11)

egyenletrendszer tiszta gördülésre vonatkozó egyenleteinek megoldása:

\begin{matrix} \begin{matrix} a & = \frac{5}{6} g sin α, β_{1} = β_{2} = \frac{5}{6} \frac{g}{R} sin α, \\ S_{1} & = S_{2} = \frac{7}{12} M g sin α, \\ K_{1} & = K_{2} = \frac{5}{12} M g sin α, \\ N_{1} & = (\frac{5}{2} cos α - \frac{5 h}{12 l}) M g, N_{2} = (\frac{5}{2} cos α + \frac{5 h}{12 l}) M g \\ T_{1} & = (\frac{7}{2} cos α - \frac{5 h}{12 l}) M g, T_{2} = (\frac{7}{2} cos α + \frac{5 h}{12 l}) M g . \end{matrix} \end{matrix}

A feltételezett tiszta gördülés akkor jön létre, ha

S_{1} \leq μ_{s} T_{1}

és

S_{2} \leq μ_{s} T_{2}

teljesül. Az erők behelyettesítésével látható, hogy a két feltétel közül a hátsó kerékre vonatkozó az erősebb, nevezetesen (a lejtő hajlásszögére megfogalmazva)

\begin{matrix} tg α \leq \frac{μ_{s}}{1 + \frac{5 h}{7 l} μ_{s}} . \end{matrix}

b) Ha a lejtő hajlásszöge egy kicsit meghaladja ezt a kritikus értéket, akkor a hátsó kerék csúszva, az első kerék pedig tisztán gördül. Az

(1)

‐

(11)

egyenletrendszernek ezt az állapotot leíró egyenleteiből ‐ hosszú számolással ‐ a következőt kaphatjuk:

\begin{matrix} a = \frac{(1 + \frac{5 h μ_{k}}{14 l}) sin α - \frac{1}{2} μ_{k} cos α}{\frac{11}{10} + \frac{5 h}{11 l} μ_{k}} . \end{matrix}

Az első kerék tiszta gördülésének feltétele:

S_{2} \leq μ_{s} T_{2}

. Ezt a feltételt a hajlásszögre kifejtve a következő adódik:

\begin{matrix} tg α \leq \frac{6 μ_{s} + 77 μ_{k} + \frac{325 h}{7 l} μ_{s} μ_{k}}{14 - \frac{5 h}{l} (μ_{s} - μ_{k})} . \end{matrix}

c) Ha a lejtő hajlásszöge ezt kritikus értéket is meghaladja, akkor mindkét kerék csúszva gördül. Az

(1)

‐

(11)

egyenletrendszer ide vonatkozó egyenleteiből a kocsi gyorsulására és a kerekek szöggyorsulására a következő eredmény adódik:

\begin{matrix} \begin{matrix} a & = g (sin α - μ_{k} cos α), \\ β_{1} & = \frac{5}{7} \frac{g}{R} μ_{k} (7 - \frac{5 h}{l} μ_{k}) cos α, \\ β_{2} & = \frac{5}{7} \frac{g}{R} μ_{k} (7 + \frac{5 h}{l} μ_{k}) cos α . \end{matrix} \end{matrix}

4. A hirtelen megcsúszó jármű esete
Vizsgáljuk azt az esetet, amikor az álló helyzetből induló jármű kerekei

d

úton tisztán gördülnek, majd

s - d

úton mozgásuk csúszva gördülés. Jelölje

a_{t}

, illetve

a_{cs}

a jármű gyorsulását a tiszta gördülés, illetve a csúszás szakaszában,

β_{első}

, illetve

β_{hátsó}

a kerekek szöggyorsulását a csúszva gördülés idején. (Ezeket a mennyiségeket a 3. részfeladatban meghatároztuk.) Az egyenletesen változó mozgásra vonatkozó kinematikai összefüggések felhasználásával könnyen kapható a jármű végsebessége, illetve az egyes kerekek szögsebessége:

\begin{matrix} \begin{matrix} v & = \sqrt[]{2 a_{t} d + 2 a_{cs} (d - s)}, \\ ω_{első} & = \frac{\sqrt[]{2 a_{t} d}}{R} + β_{első} \frac{\sqrt[]{2 a_{t} d + 2 a_{cs} (d - s)} - \sqrt[]{2 a_{t} d}}{a_{cs}}, \\ ω_{hátsó} & = \frac{\sqrt[]{2 a_{t} d}}{R} + β_{hátsó} \frac{\sqrt[]{2 a_{t} d + 2 a_{cs} (d - s)} - \sqrt[]{2 a_{t} d}}{a_{cs}} . \end{matrix} \end{matrix}